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【题目】如图1,平面直角坐标系中,点AB分别在xy轴上,点B的坐标为(01),∠BAO30°,以AB为一边作等边ABE,作OA的垂直平分线MNAB的垂线AD于点D

1)写出点E的纵坐标.

2)求证:BDOE

3)如图2,连接DEABF.求证:FDE的中点.

【答案】1)点E的纵坐标为2;(2)见解析;(3)见解析.

【解析】

1)直接运用直角三角形30°角的性质和等边三角形的性质可得∠OAE90°AE2

2)连接OD,易证ADO为等边三角形,再证ABD≌△AEO即可.

3)作EHABH,先证ABO≌△AEH,得AOEH,再证AFD≌△HFE即可.

1)解:∵点B的坐标为(01),

OB1

∵∠BAO30°

RtABO中,AB2OB2

∵△ABE是等边三角形,

∴∠BAE60°AEAB2

∴∠OAE30°+60°90°

∴点E的纵坐标为2

故答案为:2

2)证明:连接OD,如图1

∵△ABE是等边三角形,

ABBE,∠EAB60°

DABA

∴∠DAB90°

∵∠BAO30°

∴∠DAO90°30°60°

∴∠OAE=∠DAB

MN垂直平分OA

ODDA

∴△AOD是等边三角形,

DAOA

ABDAEO中,

∴△ABD≌△AEOSAS),

BDOE

3)证明:如图2,作EHABH

∴∠EHA=∠DAF90°

AEBE

AHAB

∵∠AOB90°,∠BAO30°

OBAB

AHBO

RtAEHRtBAOHL),

EHAOAD

∵∠EHF=∠DAF90°,∠EFH=∠DFA

∴△HFE≌△AFDAAS),

EFDF

FDE的中点.

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