Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．

（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．
∴根据勾股定理，得AB= 。（1）以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：①当△AMP∽△ABC时， ，即 ，解得 ； ②当△APM∽△ABC时， ，即 ，解得t=0（不合题意，舍去）。
综上所述，当 时，以A、P、M为顶点的三角形与△ABC相似
（2）解：存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．
理由如下：假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值。如图，过点P作PH⊥BC于点H．则PH∥AC

∴ ，即 。
∴ ∴
∵ ＞0，
∴S有最小值。当t= 时，S最小值= ． 答：当t= 时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是
【解析】（1）根据△AMP∽△ABC，可得成比例的线段，问题得解；（2）首先假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值，然后把四边形APNC的面积表示出来，其面积是一个二次函数，再根据二次函数的性质求解。
【考点精析】利用二次函数的最值和相似三角形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．