Question

5．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连结ME、MD、ED．设AB=4，∠DBE=30°，则△EDM的面积为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由条件知△ABE，三角形ADB是直角三角形，且EM，DM分别是它们斜边上的中线，证明∠EMD=2∠DAC=60°，从而可得三角形DME是边长为2的等边三角形可得到问题答案．

解答 解：∵在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴△ABE，△ADB是直角三角形，
∴EM，DM分别是它们斜边上的中线，
∴EM=DM=$\frac{1}{2}$AB，
∵ME=$\frac{1}{2}$AB=MA，
∴∠MAE=∠MEA，
∴∠BME=2∠MAE，
同理，MD=$\frac{1}{2}$AB=MA，
∴∠MAD=∠MDA，
∴∠BMD=2∠MAD，
∴∠EMD=∠BME-∠BMD=2∠MAE-2∠MAD=2∠DAC=60°，
所以△DEM是边长为2的正三角形，所以S_△DEM=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了直角三角形的性质以及等边三角形的判定和性质和等边三角形的面积计算，题目综合性很好．