Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于A（﹣4，0），B（2，0），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．

（1）求二次函数的表达式；

（2）点D是第二象限内的抛物线上一动点．

①求△ADE面积最大值并写出此时点D的坐标；

②若tan∠AED＝，求此时点D坐标；

（3）连接AC，点P是线段CA上的动点，连接OP，把线段PO绕着点P顺时针旋转90°至PQ，点Q是点O的对应点．当动点P从点C运动到点A，则动点Q所经过的路径长等于　 （直接写出答案）．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+6；（2）①当m＝﹣时，S△ADE的面积最大，最大值为；点D点坐标为（，）；②D（，）；（3）2．

【解析】

（1）把点A（﹣4，0），B（2，0）代入y＝ax2+bx+6的解析式即可得解；

（2）①由A、E两点坐标得出直线AE解析式，设点D坐标为（m，﹣m2﹣m+6，过点D作DK⊥y轴交于点K，然后构建S△ADE面积与m的二次函数，即可得出△ADE面积最大值和点D的坐标；

②过点A作AN⊥DE，DE与x轴交于点F，通过证明Rt△AFN∽Rt△EFO，得出，得到点F的坐标，进而得出直线EF的解析式，联立直线和二次函数，得出点D的坐标即可；

（3）根据题意，当P点在A点时，（﹣4，﹣4），当P点在C点时，Q（﹣6，6），动点Q所经过的路径是线段Q，求出两点之间的距离即可得解．

（1）将A（﹣4，0），B（2，0）代入y＝ax2+bx+6（a≠0），

，

可得，

∴y＝﹣x2﹣x+6，

故答案为：y＝﹣x2﹣x+6；

（2）①∵A（﹣4，0），E（0，﹣2），

设D（m，﹣m2﹣m+6），

过点D作DK⊥y轴交于点K，

K（0，﹣m2﹣m+6），

S△ADE＝S梯形DKOA+S△AOE﹣S△KED

＝×（KD+AO）×OK+×AO×OE﹣×KD×KE

＝（﹣m+4）×（﹣m2﹣m+6）+×4×2﹣×（﹣m）×（2﹣m2﹣m+6）

＝﹣（m+）2+，

当m＝﹣时，S△ADE的面积最大，最大值为，点D点坐标为（，），

故答案为： ；（，）；

②过点A作AN⊥DE，DE与x轴交于点F，

∵tan∠AED＝，

∴AN＝，NE＝3，

Rt△AFN∽Rt△EFO，

∴，

∵EF2＝OF2+4，

∴NF＝3﹣EF，

∴＝，

∴OF＝2，

∴F（﹣2，0），

∴EF直线解析式为y＝﹣x﹣2，

∴﹣x﹣2＝﹣x2﹣x+6时，x＝，

∴D（，），

故答案为：D（，）；

（3）∵Q点随P点运动而运动，P点在线段AC上运动，

∴Q点的运动轨迹是线段，

当P点在A点时，（﹣4，﹣4），

当P点在C点时，Q（﹣6，6），

∴Q点的轨迹长为Q==2，

故答案为：2．