Question

【题目】已知正方形ABCD中，AB＝6，点P是射线BC上的一动点，过点P作PE⊥PA交直线CD于E，连AE．

（1）如图1，若BP＝2，求DE的长；

（2）如图2，若AP平分∠BAE，连PD，求tan∠DPE的值；

（3）直线PD，AE交于点F，若BC＝4PC，则＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）证明△ABP∽△PCE，可以解决问题；

（2）如图2，过P作PQ⊥AE于Q，根据角平分线的性质得BP＝PQ＝PC＝3，根据△ABP∽△PCE，得CE＝1，DE＝5，根据对角互补的四边形是圆内接四边形，得∠DAE＝∠DPE，由等角的三角函数可得结论；

（3）分两种情况：①当P在线段BC上时，如图3，过E作EG∥PC，交PD于G，

②当P在射线BC上时，过E作EQ∥AD，交DF于Q；证明两三角形相似，列比例式可得结论．

解：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝CD＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，

∵BP＝2，

∴PC＝4，

∵AP⊥PE，

∴∠APE＝∠APB+∠CPE＝90°，

∵∠APB+∠BAP＝90°，

∴∠BAP＝∠CPE，

∴△ABP∽△PCE，

∴，即

∴CE＝，

∴DE＝CD﹣CE＝6﹣＝；

（2）如图2，过P作PQ⊥AE于Q，

∵AP平分∠BAE，∠B＝90°，

∴BP＝PQ，

∵∠APE＝∠B＝90°，∠BAP＝∠PAE，

∴∠APB＝∠AEP＝∠PEC，

∵∠C＝90°，

∴PC＝PQ＝BP＝BC＝3，

由（1）得：△ABP∽△PCE，

∴，即

∴CE＝1，

∴DE＝CD﹣CE＝5，

∵∠ADC+∠APE＝180°，

∴A、D、E、P四点共圆，

∴∠DAE＝∠DPE，

∴tan∠DPE＝tan∠DAE＝；

（3）分两种情况：

①当P在线段BC上时，如图3，过E作EG∥PC，交PD于G，

∵BC＝4PC，BC＝6，

∴BP＝，PC＝，

由（1）知：DE＝，

∵EG∥PC，

∴△DGE∽△DPC，

∴，即，

∴EG＝，

∵AD∥PC，

∴AD∥EG，

∴△AFD∽△EFG，

∴＝；

②当P在射线BC上时，如图4，

∵BC＝4PC，BC＝6，

∴PC＝，

∴BP＝BC+CP＝，

∵∠APB+∠BPE＝∠BPE+∠CEP＝90°，

∴∠APB＝∠CEP，

∴∠B＝∠ECP＝90°，

∴△ABP∽△PCE，

∴，即

∴CE＝，

过E作EQ∥AD，交DF于Q，

∵EQ∥CP，

∴△DCP∽△DEQ，

∴，即

∴EQ＝，

∵EQ∥AD，

∴△EQF∽△ADF，

∴．

综上所述，则＝或；

故答案为：或．