Question

【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴交于点A(-2，0)和点B，与y轴交于C，对称轴为直线x＝ ．

（1）求a、b满足的关系式；

（2）若点D为抛物线的顶点，连接CD，DB，BC，S△BCD＝ ．

①求抛物线的解析式；

②点Ｍ是第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，过点Ｍ作MN⊥x轴，垂足为点N，线段MN上有一点H，若∠HBA＋∠MAB＝90°，求证：HN的长为定值．

Answer 1

【答案】（1）a＋b＝0；（2）① y＝a(x＋2)(x－3)；②见解析

【解析】

（1）根据抛物线的对称轴公式即可求出a、b的关系；

（2）①先求出抛物线与x轴的两个交点，用交点式设出函数解析式，再根据S△BCD＝ 求出a即可；

②先证△BNH ∽△MNA，根据相似三角形的性质列出比例式，设M(t，－t2＋t＋6)，则N(t，0)，代入计算即可．

（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝，

∴－＝，

即b＝－a，

∴a、b满足的关系式为a＋b＝0

（2）①∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的对称轴为直线x＝，

且抛物线与x轴的一个交点A的坐标为(－2，0)，

∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(3，0)．

设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－3)，

即y＝ax2－ax－6a，

当x＝0时，y＝－6a，

∴C(0，－6a)，

设直线BC的解析式为y＝kx＋m，

将B(3，0)，C(0，－6a)代入直线BC的解析式得，

，解得，

∴直线BC的解析式为y＝2ax－6a

如图，设直线BC交抛物线的对称轴于点E，

∴E(，－5a)，D(，－)，

∴DE＝－a－(－5a)＝－a，

∵S△BCD＝S△BDE＋S△CED

＝DE·(xB－xC)

＝×(－)×3

＝－，

∵S△BCD＝，

∴a＝－1，

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋6

②如图，

∵A(－2，0)，B (3，0)，MN⊥x轴，

∴∠HNB ＝∠ANM ＝90°，

∴∠BHN ＋∠HBN ＝90°，

又∵∠HBA＋∠MAB＝90°，

∴∠BHN ＝∠MAB，

∴△BNH ∽△MNA，

∴＝

设M(t，－t2＋t＋6)，则N(t，0)，

∴＝，

∴HN＝＝＝1，

∴HN的长为定值