Question

如图，等边△ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD，求证：
（1）∠CAE=∠BCD；
（2）AF=2FG．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形

专题：

分析：（1）易证BD=CE，即可证明△BCD≌△CAE，可得∠CAE=∠BCD，即可解题；
（2）易证∠CFE=∠ACE，即可求得∠AFG=60°，根据AG⊥CD，即可求得∠FAG=30°，即可解题．

解答：证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，
∵AD=BE，∴BD=CE，
在△BCD和△CAE中，

AC=BC ∠ACE=∠CBD CE=BD

，
∴△BCD≌△CAE（SAS），
∴∠CAE=∠BCD；
（2）∵∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°，∠BCD+∠AEC+∠CFE=180°，
∴∠CFE=∠ACE=60°，
∴∠AFG=60°，
∵AG⊥CD，∴∠FAG=30°，
∴AF=2FG．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△BCD≌△CAE是解题的关键．