【题目】平面直角坐标系xOy中,点A、B的横坐标分别为a、a+2,二次函数的图象经过点A、B,且a、m满足2a﹣m=d(d为常数).
(1)若一次函数y1=kx+b的图象经过A、B两点.
①当a=1、d=﹣1时,求k的值;
②若y1随x的增大而减小,求d的取值范围;
(2)当d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4时,判断直线AB与x轴的位置关系,并说明理由;
(3)点A、B的位置随着a的变化而变化,设点A、B运动的路线与y轴分别相交于点C、D,线段CD的长度会发生变化吗?如果不变,求出CD的长;如果变化,请说明理由.
【答案】(1)①k的值为﹣3;②d>﹣4;(2)AB∥x轴;(3)线段CD的长随m的值的变化而变化,DC=|8﹣2m|.
【解析】试题分析:(1)①当a=1、d=﹣1时,m=2a﹣d=3,于是得到抛物线的解析式,然后求得点A和点B的坐标,最后将点A和点B的坐标代入直线AB的解析式求得k的值即可;
②将x=a,x=a+2代入抛物线的解析式可求得点A和点B的纵坐标,然后依据y1随着x的增大而减小,可得到﹣(a﹣m)(a+2)>﹣(a+2﹣m)(a+4),结合已知条件2a﹣m=d,可求得d的取值范围;
(2)由d=﹣4可得到m=2a+4,则抛物线的解析式为y=﹣x2+(2a+2)x+4a+8,然后将x=a、x=a+2代入抛物线的解析式可求得点A和点B的纵坐标,最后依据点A和点B的纵坐标可判断出AB与x轴的位置关系;
(3)先求得点A和点B的坐标,于是得到点A和点B运动的路线与字母a的函数关系式,则点C(0,2m),D(0,4m﹣8),于是可得到CD与m的关系式.
试题解析:解:(1)①当a=1、d=﹣1时,m=2a﹣d=3,所以二次函数的表达式是y=﹣x2+x+6.
∵a=1,∴点A的横坐标为1,点B的横坐标为3,把x=1代入抛物线的解析式得:y=6,把x=3代入抛物线的解析式得:y=0,∴A(1,6),B(3,0).
将点A和点B的坐标代入直线的解析式得:,解得:
,所以k的值为﹣3.
②∵y=﹣x2+(m﹣2)x+2m=﹣(x﹣m)(x+2),∴当x=a时,y=﹣(a﹣m)(a+2);当x=a+2时,y=﹣(a+2﹣4)(a+4),∵y1随着x的增大而减小,且a<a+2,∴﹣(a﹣m)(a+2)>﹣(a+2﹣m)(a+4),解得:2a﹣m>﹣4,又∵2a﹣m=d,∴d的取值范围为d>﹣4.
(2)∵d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4,2a﹣m=d,∴m=2a+4,∴二次函数的关系式为y=﹣x2+(2a+2)x+4a+8.
把x=a代入抛物线的解析式得:y=a2+6a+8.
把x=a+2代入抛物线的解析式得:y=a2+6a+8,∴A(a,a2+6a+8)、B(a+2,a2+6a+8).
∵点A、点B的纵坐标相同,∴AB∥x轴.
(3)线段CD的长随m的值的变化而变化.
∵y=﹣x2+(m﹣2)x+2m过点A、点B,∴当x=a时,y=﹣a2+(m﹣2)a+2m,当x=a+2时,y=﹣(a+2)2+(m﹣2)(a+2)+2m,∴A(a,﹣a2+(m﹣2)a+2m)、B(a+2,﹣(a+2)2+(m﹣2)(a+2)+2m),∴点A运动的路线是的函数关系式为y1=﹣a2+(m﹣2)a+2m,点B运动的路线的函数关系式为y2=﹣(a+2)2+(m﹣2)(a+2)+2m,∴点C(0,2m),D(0,4m﹣8),∴DC=|2m﹣(4m﹣8)|=|8﹣2m|,∴线段CD的长随m的值的变化而变化.
当8﹣2m=0时,m=4时,CD=|8﹣2m|=0,即点C与点D重合;当m>4时,CD=2m﹣8;当m<4时,CD=8﹣2m.
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【题目】根据给出的数轴及已知条件,解答下面的问题:
(1)已知点,
,
表示的数分别为
,
,
观察数轴,
,
两点之间的距离为_______;与点
的距离为
的点表示的数是_______;
(2)若将数轴折叠,使得点与
点合,则与
点重合的点表示的数是______;若此数轴上
,
两点之间的距离为
(
在
的左侧),且
点与
点重合时,
点
点也恰好重合,则
,
两点表示的数分别是:
:_______,
_______.
(3)若数轴上,
两点间的距离为
(
在
左侧),表示数
的点到
,
两点的距离相等,则将数轴折叠,使得
点与
点重合时,
,
两点表示的数分别为:
______,
______.(用含
,
的式子表示这两个数).
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【题目】如图①,A是线段BC上一点,△ABD和△ACE都是等边三角形.
(1)连结BE,DC,求证:BE=DC.
(2)如图②,将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′.
①当旋转角为__ _度时,边AD′落在AE上.
②在①的条件下,延长DD′交CE于点P,连结BD′,CD′.当线段AB,AC满足什么数量关系时,△BDD′与△CPD′全等?并给予证明.
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【题目】若多项式的次数为
,项数为
;当
时,此多项式的值为
.
(1)分别写出所表示的数,并计算代数式
的值;
(2)设有理数0,,
,
在数轴上对应的点分别是点
,点
,点
,点
.
①请比较线段与线段
的大小.
②若点是线段
上的一动点,比较
与
的大小,说明理由.
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【题目】(问题原型)如图,在中,对角线
的垂直平分线
交
于点
,交
于点
,交
于点
.求证:四边形
是菱形.
(小海的证法)证明:
是
的垂直平分线,
,(第一步)
,(第二步)
.(第三步)
四边形
是平行四边形.(第四步)
四边形
是菱形. (第五步)
(老师评析)小海利用对角线互相平分证明了四边形是平行四边形,再利用对角线互相垂直证明它是菱形,可惜有一步错了.
(挑错改错)(1)小海的证明过程在第________步上开始出现了错误.
(2)请你根据小海的证题思路写出此题的正确解答过程,
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【题目】中国新版高铁“复兴号”率先在北京南站和上海虹桥站双向首发“复兴号”高铁从某车站出发,在行驶过程中速度(千米/分钟)与时间
(分钟)的函数关系如图所示.
(1)当时,求
关于
工的函数表达式,
(2)求点的坐标.
(3)求高铁在时间段行驶的路程.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,函数的图象经过点
和点
.过点
作
轴,垂足为点
,过点
作
轴,垂足为点
,连结
、
、
、
.点
的横坐标为
.
(1)求的值.
(2)若的面积为
.
①求点的坐标.
②在平面内存在点,使得以点
、
、
、
为顶点的四边形是平行四边形,直接写出
符合条件的所有点的坐标.
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