Question

已知关于x的一元二次方程

1

4

x²-2x+a（x+a）=0的两个实数根为x₁，x₂，若y=x₁+x₂+

1

2

x1+x2

．
（1）当a≥0时，求y的取值范围；   
（2）当a≤-2时，比较y与-a²+6a-4的大小并说明理由．

Answer 1

考点：根与系数的关系,配方法的应用

专题：

分析：（1）根据根与系数的关系得出x₁+x₂=4（2-a），再代入y=x₁+x₂+

1

2

x1+x2

，求出a的取值范围，再代入y的式子，即可求出y的取值范围．
（2）先把-a²+6a-4进行配方，求出最值，再根据a≤-2时，求出y的取值范围，即可得出答案．

解答：解：（1）∵关于x的一元二次方程

1

4

x²-2x+a（x+a）=0的两个实数根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=4（2-a），
∴y=x₁+x₂+

1

2

x1+x2

=4（2-a）+

2-a

，
∵2-a≥0，
∴a≤2，
∵a≥0，
∴a的取值范围是：0≤a≤2，
∴y的取值范围0≤y≤8+2

2

．

（2）∵-a²+6a-4=-（a-3）²+5，
∴-a²+6a-4的最大值是5，
当a≤-2时，解得y的取值范围得y≥18，
∵y的值恒大于5，
∴y大于-a²+6a-4．

点评：此题考查了根与系数的关系，用到的知识点是配方法的应用，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．