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【题目】如图①,直线ykx+2与坐标轴交于AB两点,OA=4,点Cx轴正半轴上的点,且OCOB,过点CAB的垂线,交y轴于点D,抛物线yax2+bx+cABC三点.

(1)求抛物线函数关系式;

(2)如图②,点P是射线BA上一动点(不与点B重合),连接OP,过点OOP的垂线交直线CD于点Q.求证:OPOQ

(3)如图③,在(2)的条件下,分别过PQ两点作x轴的垂线,分别交x轴于点EF,交抛物线于点MN,是否存在点P的位置,使以PQMN为顶点的四边形为平行四边形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.

【答案】(1) y=﹣x2x+2; (2)见解析;(3)见解析.

【解析】

(1)根据自变量与函数值的对应关系可得A、B点坐标,再根据OB=OC可得C点坐标,进而根据待定系数法可得抛物线解析式;(2)根据题意易得∠BAO=∠ODC,然后根据“ASA”证得△AOB≌△COD,进而可得OA=OD,∠OAD=∠ODQ,再根据∠POQ=∠AOD=90°得到∠AOP=∠DOQ,因此可证△AOP≌△DOQ,即可证OP=OQ;(3)设点P横坐标为n,则点P坐标为(n, n+2),点M的坐标为(n, n2n+2),通过证△OPE≌△OQF(AAS)确定Q,N的坐标由题意可得PM∥QN,故当PM=QN时,以P、Q、M、N为顶点的四边形为平行四边形PM点上方以及PM点下方两种情况进行讨论,根据PM=QN求出点P坐标即可.

解:(1)OA=4

∴点A(﹣4,0)

∵直线ykx+2与坐标轴交于AB两点,

∴点B(0,2),0=﹣4k+2

OB=2,k

∴直线解析式yx+2

OCOB=2

∴点C(2,0)

∵抛物线yax2+bx+cABC三点.

解得:a=﹣b=﹣c=2

∴抛物线解析式:y=﹣x2x+2;

(2)CDAB

∴∠BAO+DCO=90°

又∵∠ODC+DCO=90°

∴∠BAOODCOBOCAOBCOD=90°

∴△AOB≌△CODASA

OAODOABODC

∴∠OAPODQ

∵∠POQ=90°,AOD=90°

∴∠AOPDOQOAODOAPODQ

∴△AOP≌△DOQASA

OPOQ

(3)设点P横坐标为n,则点P坐标为(n n+2),点M的坐标为(n n2n+2)

QFx轴,

∴∠FQO+QOF=90°,且∠QOF+POE=90°

∴∠FQOEOP

又∵∠OEPQFO=90°,OPOQ

∴△OPE≌△OQFAAS

OEQFPEOF

∴点Q的坐标为(n+2,﹣n),点N坐标(n+2,﹣n2n).

由题意可得PMQN

PMQN时,以PQMN为顶点的四边形为平行四边形

当点P位于点M上方时:如图:

PM=(n+2)﹣(n2n+2)=n2+n

QN=(﹣n)﹣(﹣n2n)=n2n

n2nn2+n

解得:n=0(不合题意舍去),n=﹣

×(﹣)+2=﹣

∴点P坐标为(﹣,﹣

当点P位于点M下方时,如图:

PM=(n2n+2)﹣(n+2)=﹣n2n

QN=(﹣n)﹣(﹣n2n)=n2n

n2nn2n

解得:n=0(不合题意舍去),n=﹣

×(﹣)+2=

∴点P的坐标为(

综上所述:点P坐标(﹣,﹣),(﹣

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摸球的次数n

100

200

300

500

800

1000

摸到有记号球的次数m

25

44

57

105

160

199

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0.25

0.22

0.19

0.21

0.20

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