Question

【题目】已知△ABC是等边三角形.

(1)如图1，点D是边BC的中点，∠ADE＝60°，且DE交△ABC外角∠ACF的平分线CE于点E，求证：AD＝DE；(提示：取AB的中点G，连接DG)

(2)小颖对(1)题进行了探索：如果将(1)题中的“点D是边BC的中点”改为“点D是直线BC上任意一点(B、C两点除外)”，其它条件不变，结论AD＝DE是否仍然成立？小颖将点D的位置分为三种情形，画出了图2、图3、图4，现在请你在图2、图3、图4中选择一种情形，帮小颖验证：结论AD＝DE是否仍然成立？

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)成立，证明见解析.

【解析】

（1）取AB的中点G，连接DG，根据“ASA”证明△AGD≌△DCE即可；

（2）小颖的观点正确.如图2中，在AB上取一点M，使BM＝BD，连接MD.如图3中，延长BA到M，使AM＝CD，利用全等三角形的性质解决问题即可.

解：（1）取AB的中点G，连接DG，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=∠B=∠ACB＝60°，BA＝BC=AC,AD⊥BC,

∴CD=,∠BAD=30°,

∵G是AB中点，

∴AG=DG=,

∴AG=CD, △BGD是等边三角形，∠BGD＝60°，∠AGD＝120°.

∵∠ADE＝60°，

∴∠CDE=30°,

∴∠GAD=∠CDE.

∵CE是外角∠ACF的平分线，

∴∠ECA＝60°，

∴∠DCE＝120°.

∴∠AGD＝∠DCE.

在△AGD和△DCE中，

,

∴△AGD≌△DCE(ASA).

∴AD＝DE.

(2)小颖的观点正确.

证明：如图2中，在AB上取一点M，使BM＝BD，连接MD.

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝60°，BA＝BC.

∴△BMD是等边三角形，∠BMD＝60°.∠AMD＝120°.

∵CE是外角∠ACF的平分线，

∴∠ECA＝60°，∠DCE＝120°.

∴∠AMD＝∠DCE.

∵∠ADE＝∠B＝60°，∠ADC＝∠2+∠ADE＝∠1+∠B

∴∠1＝∠2.

又∵BA﹣BM＝BC﹣BD，即MA＝CD.

在△AMD和△DCE中，

，

∴△AMD≌△DCE(ASA).

∴AD＝DE.

如图3中，延长BA到M，使AM＝CD，

与(1)相同，可证△BDM是等边三角形，

∵∠CDE＝∠ADB+∠ADE＝∠ADB+60°，

∠MAD＝∠B+∠ADB＝∠ADB+60°，

∴∠CDE＝∠MAD，

同理可证，△AMD≌△DCE，

∴AD＝DE.

如图4中，同法可证AD＝DE.