Question

如图，一块直径为10cm（即AB=10cm）的量角器，若将量角器与∠MPN按如图1叠放（A与P重合，AB与PM重合），并已知点B、C、A处的读数分别为0°、40°、180°．

（1）∠MPN的度数是

 

．
（2）求线段PC的长．
（3）在图1的状态下，∠MPN不动，将量角器沿着射线PM向右平移（如图2），问平移多少厘米后量角器与PN相切于点D？切点D处的读数是多少？（可用计算器，结果精确到0.1cm）

Answer 1

考点：切线的性质,圆周角定理,解直角三角形

专题：

分析：（1）如图1，连接OC，利用“在同圆中，同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”填空；
（2）如图1，连接BC．构建直角△ACB，通过解直角三角形来求PC的长度；
（3）如图2，连接OD．利用切线的性质判定△PDO是直角三角形，通过解该直角三角形来求PA的长度；由三角形外角定理来求点D所表示的读数．

解答：解：（1）如图1，
∵点B、C、A处的读数分别为0°、40°、180°，
∴∠COB=40°，
∴∠MPN=

1

2

∠COB=20°．
故填：20°；

（2）如图1，连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴cos20°=

PC

AB

．
即PC=AB•cos20°=10×cos20°≈10×0.94=9.4（cm）；

（3）如图2，连接OD．
∵PD与半圆切于点D，
∵∠PDO=90°．
则在Rt△PDO中，由于∠P=20°，OD=5cm，
∴sin20°=

5

OP

，OP=

5

sin20°

≈14.6．
∴PA=14.6-5=9.6（cm）．
又∵∠DOM=90°+20°=110°，
∴切点D处的读数为110°．

点评：本题考查了切线的性质，圆周角定理和解直角三角形．解题时，需要熟悉量角器的使用方法．