Question

如图1，一张菱形纸片EHGF，点A、D、C、B分别是EF、EH、HG、GF边上的点，连接AD、DC、CB、AB、DB，且AD=

3

，AB=

6

；如图2，若将△FAB、△AED、△DHC、△CGB分别沿AB、AD、DC、CB对折，点E、F都落在DB上的点P处，点H、G都落在DB上的点Q处．
（1）求证：四边形ADCB是矩形；
（2）求菱形纸片EHGF的面积和边长．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）,勾股定理,菱形的性质,矩形的判定

专题：

分析：（1）由对折可知∠EAB=∠PAB，∠FAD=∠PAD，利用等角关系可求出∠BAD=90°，同理可求出∠ADC=∠ABC=90°．即可得出四边形ADCB是矩形．
（2）由对折可知S_菱形EHGF=2S_矩形ADCB即可求出EHGF的面积，由对折可得出点A，C为中点，连接AC，得FG=AC=BD．利用勾股定理就可得出边长．

解答：（1）证明：由对折可知∠EAB=∠PAB，∠FAD=∠PAD，
∴2（∠PAB+∠PAD）=180°，
即∠BAD=∠PAB+∠PAD=90°．
同理可得，∠ADC=∠ABC=90°．
∴四边形ADCB是矩形．
（2）解：由对折可知：△AEB≌△APB，△AFD≌△APD，△CGD≌△CQD，△CHB≌△CQB．
∴S_菱形EHGF=2S_矩形ADCB=2×

3

×

6

=6

2

．
又∵AE=AP=AF，
∴A为EF的中点．同理有C为GH的中点．即AF=CG，
且AF∥CG，如图2，连接AC，

∴四边形ACGF为平行四边形，得FG=AC=BD．
∴FG=

( 3 )2+( 6 )2

=3．

点评：本题主要考查了翻折变换，勾股定理，菱形的性质及矩形的判定，解题的关键是折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．