Question

如图，在正方形ABCD中，E是AB上的点，⊙O是以BC为直径的圆．
（1）若E是AB中点，连接DE，AO，求证：AO⊥DE；
（2）若BE=2，DE=10，试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

考点：切线的判定,正方形的性质

专题：证明题

分析：（1）根据正方形的性质得AB=AD，∠BAD=∠ABC=90°，再由E是AB上的点，⊙O是以BC为直径的圆，则可根据“SAS”判断△ABO≌△DAE，则∠BAO=∠ADE，然后利用∠BAO+∠OAD=90°得到∠ADE+∠OAD=90°，即有AO⊥DE；
（2）设正方形的边长为a，则AE=a-2，在Rt△ADE中利用勾股定理得（a-2）²+a²=10²，解方程求出a即可得到正方形边长为8，则CD=8，OC=4，
作OF⊥DE于F，连接OE、OD，如图，利用勾股定理，在Rt△OBE中计算出OE=2

5

，在Rt△OCD中计算出OD=4

5

，所以OE²+OD²=DE²，根据勾股定理的逆定理得△ODE为直角三角形，接着利用面积法计算出OF=4，然后根据切线的判定方法可得到直线DE与⊙O相切．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠ABC=90°，
∴E是AB上的点，⊙O是以BC为直径的圆，
∴AE=BO，
在△ABO和△DAE中

AB=DA ∠ABO=∠DAE BO=AE

，
∴△ABO≌△DAE（SAS），
∴∠BAO=∠ADE，
而∠BAO+∠OAD=90°，
∴∠ADE+∠OAD=90°，
∴AO⊥DE；
（2）解：直线DE与⊙O相切．理由如下：
设正方形的边长为a，则AE=a-2，
在Rt△ADE中，∵AE²+AD²=DE²，
∴（a-2）²+a²=10²，解得a₁=-6（舍去），a₂=8，
∴正方形边长为8，
∴CD=8，OC=4，
作OF⊥DE于F，连接OE、OD，如图，
在Rt△OBE中，OE=

OB2+BE2

=

42+22

=2

5

，
在Rt△OCD中，OD=

OC2+CD2

=4

5

，
∴OE²+OD²=DE²，
∴△ODE为直角三角形，
∴

1

2

OE•OD=

1

2

OF•DE，
∴OF=

2 5 ×4 5

10

=4，
∴OF为⊙O的半径，
而OF⊥DE，
∴直线DE与⊙O相切．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了正方形的性质和勾股定理、勾股定理的逆定理．