Question

【题目】已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且BD=BA，过点B画AD的垂线交AC于点O，以O为圆心，AO为半径画圆．

（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为8，tan∠C= ，求线段AB的长，sin∠ADB的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OD，

∵BA=BD，BO⊥AD，

∴∠ABO=∠DBO，

在△ABO和△DBO中，

，

∴△ABO≌△DBO（SAS），

∴OD=OA．∠ODB=∠OAB=90°，

∴BD⊥OD，

∴BC是⊙O的切线

（2）解：∵在RT△ODC中，CD= =6，

∴OC=10，

∴AC=18，

在RT△ABC中，AB=ACtan∠C=18× =24，

∵∠ADB=∠DAB=∠AOB，

∴sin∠ADB=sin∠AOB= =

【解析】（1）根据等腰三角形的性质三线合一，由SAS得到△ABO≌△DBO，得到BD⊥OD，得到BC是⊙O的切线；（2）根据三角函数值，求出OC、AC的值，根据三角函数值和勾股定理求出sin∠ADB的值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解切线的判定定理的相关知识，掌握切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，以及对解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)．