【题目】如图,在四边形中,点和点是对角线上的两点,且过点作交的延长线于点.
(1)求证:四边形是平行四边形.
(2)若,,BC=4,则的面积是
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)根据已知条件得到AF=CE,根据平行线的性质得到∠DFA=∠BEC,根据全等三角形的性质得到AD=CB,∠DAF=∠BCE,于是得到结论;
(2)根据已知条件得到△BCG是等腰直角三角形,求得BG、CG,解直角三角形得到AG,根据平行四边形的面积公式即可得到结论.
(1)证明:∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,
即AF=CE,
∵DF∥BE,
∴∠DFA=∠BEC,
∵DF=BE,
∴△ADF≌△CBE(SAS),
∴AD=CB,∠DAF=∠BCE,
∴AD∥CB,
∴四边形ABCD是平行四边形;
(2)解:∵CG⊥AB,
∴∠G=90,
∵∠CBG=60,
∴∠BCG=30
∵BC=4,
∴BG=2,CG=6,
∵=,
即
∴AG=8,
∴AB=AG-BG=8-2=6,
∴平行四边形ABCD的面积=6×6=36,
故答案为:36.
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【题目】如图,△ABC中,∠B=90°,AB=12,BC=16,点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动,与此同时,点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发,当点Q运动到点C时,两点停止运动,问:
(1)经过几秒后,△PBQ的面积等于20cm2?
(2)△PBQ的面积会等于△ABC的面积的一半吗?若会,请求出此时的运动时间;若不会,请说明理由.
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【题目】有一种落地晾衣架如图①所示,其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度.图②是支撑杆的平面示意图,AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆,夹角∠BOD=α.若AO=85 cm,BO=DO=65 cm.问:当α=74°时,较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为______cm.(参考数据:sin 37°≈0.6,cos 37°≈0.8,sin 53°≈0.8,cos 53°≈0.6)
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【题目】已知:如图,在△ABC中,D是AB边上一点,圆O过D、B、C三点,∠DOC=2∠ACD=90°.如果∠ACB=75°,圆O的半径为2,则BD的长为_____.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线经过点,与y轴交于点B,与抛物线的对称轴交于点.
(1)求m的值;
(2)求抛物线的顶点坐标;
(3)是线段AB上一动点,过点N作垂直于y轴的直线与抛物线交于点,(点P在点Q的左侧).若恒成立,结合函数的图象,求a的取值范围.
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【题目】新定义:对于关于的函数我们称函数为函数的分函数(其中为常数).
例如:对于关于的一次函数的分函数为
(1)若点在关于的一次函数的分函数上,求的值.
(2)写出反比例函数的分函数的图象上随的增大而减小的的取值范围 ;
(3)若是二次函数关于的分函数.
当时,求的取值范围.
当时,则的取值范围为 ;
(4)若点连结当关于的二次函数的分函数,与线段有两个交点,直接写出的取值范围.
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【题目】已知锐角△ABC内接于⊙O,AD⊥BC于点D,连接AO.
(1)如图1,求证:∠BAO=∠CAD;
(2)如图2,CE⊥AB于点E,交AD于点F,过点O作OH⊥BC于点H,求证:AF=2OH;
(3)如图3,在(2)的条件下,若AF=AO,tan∠BAO=,BC=,求AC的长.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动,如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6),那么:
(1)当t为何值时,△QAP是等腰直角三角形?
(2)当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似?
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【题目】如图1,正方形ABCD在直角坐标系中,其中AB边在y轴上,其余各边均与坐标轴平行,直线l:y=x﹣5沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移,在平移的过程中,该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m,平移的时间为t(秒),m与t的函数图象如图2所示,则图2中b的值为( )
A.3B.5C.6D.10
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