Question

3．已知：如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F为垂足．
（1）求∠B、∠C的度数；
（2）求证：△BDE≌△CDF；
（3）求证：△DEF是等边三角形．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和，即可解答；
（2）利用AAS证明△BDE≌△CDF；
（3）由△BDE≌△CDF，进而得到DE=DF．由（1）得∠B=∠C=30°，求出∠EDF=180°-∠BDE-∠CDF=60°．所以△DEF是等边三角形．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵∠A=120°，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=∠C=30°．
（2）由（1）得∠B=∠C，
∵D是BC边的中点，
∴BD=CD．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°．
在△BDE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{∠BED=∠CFD}\\{BD=CD}\end{array}\right.$
∴△BDE≌△CDF（AAS）．
（3）由（2）得△BDE≌△CDF
∴DE=DF．
∠BED=∠CFD=90°，
由（1）得∠B=∠C=30°，
∴∠BDE=∠CDF=90°-30°=60°．
∴∠EDF=180°-∠BDE-∠CDF=60°．
∴△DEF是等边三角形．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是熟记等腰三角形的性质以及全等三角形的性质．