【题目】如图,已知∠AOB=60°,半径为2的⊙M与边OA、OB相切,若将⊙M水平向左平移,当⊙M与边OA相交时,设交点为E和F,且EF=6,则平移的距离为____.
【答案】2或6
【解析】
分类讨论:当将⊙M水平向左平移,当点M运动到M′位置时,作MC⊥OA于C点,M′H⊥OA于H,M′Q⊥MC于Q,连结M′E,根据切线的性质得MM′∥OB,MC=2,再根据垂径定理得EH=EF=3,在Rt△EHM′中利用勾股定理计算出HM′=,则CQ=M′H=,所以MQ=2﹣=,然后利用含30°的直角三角形三边的关系可得到MM′;
当将⊙M水平向左平移,当点M运动到M″位置时,作MC⊥OA于C点,M″H⊥OA于H,M″M交OA于D点,同理得到MC=2,M′H=,利用平行线的性质得∠MDC=∠M″DH=∠AOB=60°,则∠HM″D=30°,∠CMD=30°,根据含30°的直角三角形三边的关系可得到M″D和MD,则可得到MM″=6.
解:当将⊙M水平向左平移,当点M运动到M′位置时,
如图,作MC⊥OA于C点,M′H⊥OA于H,M′Q⊥MC于Q,连结M′E,
∵⊙M与边OB、OA相切,
∴MM′∥OB,MC=2,
∵M′H⊥OA,
∴EH=CH=EF=×6=3,
在Rt△EHM′中,EM′=2,
∴HM′=,
∵M′Q⊥MC,
∴四边形M′QCH为矩形,
∴CQ=M′H=,
∴MQ=2﹣=,
∵∠QM′M=∠AOB=60°,
∴∠QM′M=30°,
∴M′Q==1,
∴MM′=2;
当将⊙M水平向左平移,当点M运动到M″位置时,如图2,
作MC⊥OA于C点,M″H⊥OA于H,M″M交OA于D点,
易得MC=2,M′H=,
∵∠MDC=∠M″DH=∠AOB=60°,
∴∠HM″D=30°,∠CMD=30°,
在Rt△HM″D中,M″D=,则DH==1,
∴M″D=2DH=2,
在Rt△CDM中,CM=2,则DC==2,
∴DM=2DC=4,
∴MM″=2+4=6,
综上所述,当⊙M平移的距离为2或6.
故答案为:2或6.
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【题目】如图,在半径为的中,点是劣弧的中点,点是优弧上一点,,下列四个结论:①;②;③;④四边形是菱形.其中正确结论的序号是( )
A.①③B.②④C.②③④D.①③④
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【题目】(1)如图1,在⊙O中,AB是直径,弦EF∥AB,在直径AB下方的半圆上有一个定点H(点H不与点A,B重合),请仅用无刻度的直尺画出劣弧的中点P,并在直线AB上画出点G,使直线AB平分∠HGP.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)尺规作图:如图2,已知线段a、c,请你用两种不同的方法作Rt△ABC,使其斜边AB=c,一条直角边BC=a.(保留作图痕迹,不写作法)
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【题目】小婷在放学路上,看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD.她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°,测得隧道底端B处的俯角为30°(B,C,D在同一条直线上),AB=10m,隧道高6.5m(即BC=65m),求标语牌CD的长(结果保留小数点后一位).(参考数据:sin42°≈0.67,cos42°≈0.74,tan42°≈0.90,≈1.73)
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【题目】如图,转盘A的三个扇形面积相等,分别标有数字1,2,3,转盘B的四个扇形面积相等,分别标有数字1,2,3,4.转动A、B转盘各一次,当转盘停止转动时,将指针所落扇形中的两个数字相乘(当指针落在四个扇形的交线上时,重新转动转盘).
(1)用树状图或列表法列出所有可能出现的结果;
(2)若规定两个数字的积为偶数时甲赢,两个数字的积为奇数时乙赢,请问这个游戏对甲、乙两人是否公平?
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=16,点D是边BC上(不与B,C重合)一动点,∠ADE=∠B,DE交AC于点E.
(1)求证:△ABD∽△DCE;
(2)若△DCE为直角三角形,求BD.
(3)若以AE为直径的圆与边BC相切,求AD;
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点是坐标原点,四边形是菱形,点的坐标为,点在轴的正半轴上,直线交轴于点,边交轴于点,连接.
(Ⅰ)求直线的解析式;
(Ⅱ)动点从点出发,沿折线方向以2个单位/秒的速度向终点匀速运动,设的面积为,点的运动时间为秒.
①当时,求与之间的函数关系式;
②在点运动过程中,当时,求的值.
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【题目】某校为了解学生对中国民族乐器的喜爱情况,随机抽取了本校的部分学生进行调查(每名学生选择并且只能选择一种喜爱乐器),现将收集到的数据绘制如下的两幅不完整的统计图.
(1)这次共抽取 学生进行调查,扇形统计图中的 .
(2)请补全统计图;
(3)在扇形统计图中“扬琴”所对扇形的圆心角是 度;
(4)若该校有3000名学生,请你估计该校喜爱“二胡”的学生约有 名.
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