Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），过A作线段AB∥y轴（B在A下方），以AB为边向右作正方形ABCD．设点B的纵坐标为m，二次函数y＝ax2﹣4ax的图象的顶点为E．

（1）AB＝　 　．（用含m的代数式表示）；

（2）当点A恰好在二次函数y＝ax2﹣4ax的图象上时，求二次函数y＝ax2﹣4ax的关系式．

（3）当点E恰为线段BC的中点时，求经过点D的反比例函数的关系式；

（4）若a＝m+1，当二次函数y＝ax2﹣4ax的图象恰与正方形ABCD有三个交点且二次函数顶点E不位于直线BC下方时，直接写出m的值．

Answer 1

【答案】（1）1﹣m；（2）；（3）；（4）m的值为﹣或﹣或﹣．

【解析】

（1）由AB∥y轴可知点A、B横坐标相等，且B在A下方，所以点A纵坐标减去点B纵坐标即为AB的长．

（2）把点A坐标代入二次函数关系式，解方程求得a即可．

（3）根据正方形四边相等可用m表示点B、C、D的坐标，进而用m表示BC中点E的横坐标；把二次函数关系式配方即得到顶点E的横坐标为2，列得关于m的方程．求得m的值即求得点D坐标，进而用待定系数法求得反比例函数关系式．

（4）由a＝m+1和二次函数顶点E不位于直线BC下方两个条件求出m的取值范围即a的取值范围．画出草图发现，当a＞0时，只有当顶点E在线段BC上时可能与正方形ABCD有三个交点，求出此时m、a的值，求出当x＝1和x＝2﹣m时抛物线上的点的纵坐标，发现落在线段AB、CD上，所以成立．当a＜0时，有两种情况，顶点E在线段AD上或点A在抛物线上，分别求出m、a的值，通过计算说明成立．

解：（1）∵yA＝1，yB＝m，AB∥y轴且点B在点A下方

∴AB＝yA﹣yB＝1﹣m

故答案为：1﹣m．

（2）∵点A（1，1）在二次函数y＝ax2﹣4ax的图象上

∴a﹣4a＝1

∴a＝

∴二次函数的关系式y＝x2+x

（3）∵y＝ax2﹣4ax＝a（x﹣2）2﹣4a

∴二次函数图象顶点E（2，﹣4a）

∵正方形ABCD中，A（1，1），yB＝m，AB∥y轴

∴B（1，m），BC＝CD＝DA＝AB＝1﹣m

∴C（2﹣m，m），D（2﹣m，1）

∵点E是BC中点

∴xE＝

∴＝2

解得：m＝﹣1

∴D（3，1）

∴经过点D的反比例函数的关系式为y＝

（4）∵点E（2，﹣4a）不位于直线BC下方

∴﹣4a≥m

∵a＝m+1

∴﹣4（m+1）≥m

解得：m≤

①当a＞0时，抛物线开口向上，只有当顶点E在线段BC上时可能与正方形ABCD有三个交点（如图1）

若m＝即a＝

∴y＝x2x，B（1，），C（，）

∵x＝1时，y＝；x＝时，y＝，

∴抛物线与线段AB、CD有交点，即与正方形ABCD共有3个交点

∴m＝成立

②当a＜0时，抛物线开口向下，xD＝2﹣m＞3，所以点A比点D理抛物线对称轴直线x＝2近

如图2，若顶点E在线段AD上，则a＝，m＝，

∴y＝x2+x，A（1，1），D（，1）

∵x＝1时，y＝+1＝＜1；x＝时，y＝，

∴抛物线与线段AB、CD有交点，即与正方形ABCD共有3个交点

∴m＝成立

如图3，若抛物线过点A，则点A关于对称轴对称的点落在线段AD上

∴抛物线与正方形ABCD共有3个交点

∴a＝即m＝，

综上所述，点m的值为或或．