Question

如图，在三角形ABC中，BD，CE分别为三角形ABC的高，连结DE，M，N分别为BC，DE中点．
（1）MN与DE有何位置关系？试说明理由；
（2）若DE=10，MN=2

14

，求BC的长；
（3）试探究当∠A为多少度时，三角形MDE为等边三角形．

Answer 1

考点：直角三角形斜边上的中线,等腰三角形的判定与性质,等边三角形的判定

专题：

分析：（1）连接EM，DM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EM为BC的一半，DM也为BC的一半，推出EM=DM，根据等腰三角形的性质即可得出答案；
（2）根据勾股定理求出即可；
（3）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出EM=BM，CM=DM，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，即可求出∠EMD，根据等边三角形的判定得出即可．

解答：解：（1）
MN⊥DE，
理由是：连接EM和DM，
∵BD，CE分别为三角形ABC的高，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
∵M，N分别为BC，DE中点，
∴DM=

1

2

BC，EM=

1

2

BC，
∴EM=DM，
∵N为DE的中点，
∴MN⊥DE；

（2）∵DE=10，N为DE的中点，
∴DN=5，
∵MN=2

14

，
∴在Rt△DNM中，由勾股定理得：DM=

DN2+MN2

=9，
∴BC=2DM=18；

（3）∠A为60度时，三角形MDE为等边三角形，
理由是：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵∠BEC=∠BDC=90°，M为BC的中点，
∴BM=EM，CM=DM，
∴∠ABC=∠BEM，∠ACB=∠CDM，
∴∠EMB+∠CMD=180°-∠ABC-∠BEC+180°-∠ACB-∠CDM=360°-120°-120°=120°，
∴∠EMD=180°-120°=60°，
∵EM=DM，
∴△EMD是等边三角形，
即∠A为60度时，三角形MDE为等边三角形．

点评：本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，解此题的关键是正确作出辅助线，并求出EM=DM，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．