Question

已知a²+4a-1=0，求下列各式的值
（1）（a+

1

a

）²
（2）a⁴+

1

a4

（3）2a³+11a²+10a-2013．

Answer 1

考点：因式分解的应用,完全平方公式

专题：

分析：（1）在原方程的两边同时除以a，得到a-

1

a

=-4．利用完全平方公式的变形来求（a+

1

a

）²的值；
（2）利用a-

1

a

=-4得到a²+

1

a2

=18，利用完全平方公式的变形来求a⁴+

1

a4

的值；
（3）由已知方程变形得到a²+4a=1，然后将所求的代数式进行变形，并代入求值．

解答：解：（1）由a²+4a-1=0，得
a-

1

a

=-4．
则（a+

1

a

）²=（a-

1

a

）²+4a×

1

a

=（-4）²+4=20；

（2）由a-

1

a

=-4，得
a²+

1

a2

-2=16，
则a²+

1

a2

=18，
所以a⁴+

1

a4

=（a²+

1

a2

）²-2a²•

1

a2

=18²-2=322；

（3）由a²+4a-1=0，得
a²+4a=1，
所以 2a³+11a²+10a-2013
=2（a-4a²）+11a²+10a-2013
=2a-8a²+11a²+10a-2013
=3a²+12a-2013
=3（a²+4a）-2013
=3×1-2013
=-2010．

点评：本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．