如图1.直角梯形OABC中.BC∥OA.OA=6.BC=2.∠BAO=45°． (1)OC的长为 , (2)D是OA上一点.以BD为直径作⊙M.⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时.sin∠BOQ= , (3)如图2.动点P以每秒1个单位长度的速度.从点O沿线段OA向点A运动,同时动点D以相同的速度.从点B沿折线B-C-O向点O运动．当点P到达点A时.两点同时停止运动．过点P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°．

（1）OC的长为

；
（2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ=

；
（3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线B-C-O向点O运动．当点P到达点A时，两点同时停止运动．过点P作直线PE∥OC，与折线O-B-A交于点E．设点P运动的时间为t（秒）．求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标．

考点：圆的综合题,勾股定理,矩形的判定与性质,圆周角定理,切线的性质,平行线分线段成比例,相似三角形的判定与性质,锐角三角函数的定义

专题：综合题,分类讨论

分析：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），易证四边形OCBH是矩形，从而有OC=BH，只需在△AHB中运用三角函数求出BH即可．
（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2），则有OH=2，BH=4，MN⊥OC．设圆的半径为r，则MN=MB=MD=r．在Rt△BHD中运用勾股定理可求出r=2，从而得到点D与点H重合．易证△AFG∽△ADB，从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG．设OR=x，利用BR²=OB²-OR²=BG²-RG²可求出x，进而可求出BR，在Rt△ORB中运用三角函数就可解决问题．
（3）由于△BDE的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况（①∠BDE=90°，②∠BED=90°，③∠DBE=90°）讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于t的方程就可解决问题．

解答：

解：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），
则有∠BHA=90°=∠COA．
∴OC∥BH．
∵BC∥OA，
∴四边形OCBH是矩形．
∴OC=BH，BC=OH．
∵OA=6，BC=2，
∴AH=0A-OH=OA-BC=6-2=4．
∵∠BHA=90°，∠BAO=45°，
∴tan∠BAH=

=1．
∴BH=HA=4．
∴OC=BH=4．
故答案为：4．

（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，
连接MN、DG，如图1（2）．
由（1）得OH=2，BH=4．
∵OC与⊙M相切于N，
∴MN⊥OC．
设圆的半径为r，则MN=MB=MD=r．
∵BC⊥OC，OA⊥OC，
∴BC∥MN∥OA．
∵BM=DM，∴CN=ON．
∴MN=

（BC+OD）．
∴OD=2r-2．
∴DH=

OD-OH

2r-4

．
在Rt△BHD中，
∵∠BHD=90°，∴BD²=BH²+DH²．
∴（2r）²=4²+（2r-4）²．
解得：r=2．

∴DH=0，即点D与点H重合．
∴BD⊥0A，BD=AD．
∵BD是⊙M的直径，
∴∠BGD=90°，即DG⊥AB．
∴BG=AG．
∵GF⊥OA，BD⊥OA，
∴GF∥BD．
∴△AFG∽△ADB．
∴

．
∴AF=

AD=2，GF=

BD=2．
∴OF=4．
∴OG=

OF2+GF2

42+22

．
同理可得：OB=2

，AB=4

．
∴BG=

AB=2

．
设OR=x，则RG=2

-x．
∵BR⊥OG，
∴∠BRO=∠BRG=90°．
∴BR²=OB²-OR²=BG²-RG²．
∴（2

）²-x²=（2

）²-（2

-x）²．
解得：x=

．
∴BR²=OB²-OR²=（2

）²-（

）²=

．
∴BR=

．
在Rt△ORB中，
sin∠BOR=

．
故答案为：

．

（3）①当∠BDE=90°时，点D在直线PE上，如图2．
此时DP=OC=4，BD+OP=BD+CD=BC=2，BD=t，OP=t．

则有2t=2．
解得：t=1．
则OP=CD=DB=1．
∵DE∥OC，
∴△BDE∽△BCO．
∴

．
∴DE=2．
∴EP=2．
∴点E的坐标为（1，2）．
②当∠BED=90°时，如图3．
∵∠DBE=OBC，∠DEB=∠BCO=90°，
∴△DBE∽△OBC．
∴

．
∴

．
∴BE=

t．
∵PE∥OC，

∴∠OEP=∠BOC．
∵∠OPE=∠BCO=90°，
∴△OPE∽△BCO．
∴

．
∴

．
∴OE=

t．
∵OE+BE=OB=2

，
∴

t=2

．
解得：t=

．
∴OP=

，OE=

．
∴PE=

OE2-OP2

．
∴点E的坐标为（

，

）．
③当∠DBE=90°时，如图4．
此时PE=PA=6-t，OD=OC+BC-t=6-t．
则有OD=PE，EA=

PE2+PA2

（6-t）=6

t．

∴BE=BA-EA=4

-（6

t）=

t-2

．
∵PE∥OD，OD=PE，∠DOP=90°，
∴四边形ODEP是矩形．
∴DE=OP=t，DE∥OP．
∴∠BED=∠BAO=45°．
在Rt△DBE中，
cos∠BED=

．
∴DE=

BE．
∴t=

（

t-2

）=2t-4．
解得：t=4．
∴OP=4，PE=6-4=2．
∴点E的坐标为（4，2）．
综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标为（1，2）、（

，

）、（4，2）．

点评：本题考查了圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义、平行线分线段成比例、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的数学思想，有一定的综合性．

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