Question

【题目】请从以下（A）、（B）两题中任选一个解答．

（A）已知：抛物线交轴于点和点，交轴于点．

（1）抛物线的解析式为_____________；

（2）点为第一象限抛物线上一点，是否存在使面积最大的点？若不存在，请说明理由，若存在，求出点的坐标；

（3）点的坐标为，连接将线段绕平面内某一点旋转得线段（点分别与点对应），使点都在抛物线上，请直接写点的坐标．

（B）如图，已知抛物线与轴从左至右交于两点，与轴交于点．

（1）抛物线的解析式为___________:

（2）是第一象限内抛物线上的一个动点（与点不重合），过点作轴于点交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由；

（3）若为抛物线对称轴上一动点，为直角三角形，请直接写出点的坐标．

我选做的是______．

Answer 1

【答案】选B（1）y=-x2+4x+5；（2）能． D的坐标为（，）或（，）；（3）（2，7），（2，-3），（2，6），（2，-1）．

【解析】

选B:（1）把C点坐标代入y=a（x+1）（x-5）中求出a的值即可得到抛物线解析式；
（2）先解方程-（x+1）（x-5）=0得A（-1，0），B（5，0），再利用待定系数法确定直线BC的解析式为y=-x+5，设D（x，-x2+4x+5），则E（x，-x+5），F（x，0），（0＜x＜5），则DE=-x2+5x，EF=-x+5，利用三角形的面积公式进行讨论：当DE：EF=2：3时，S△BDE：S△BEF=2：3；当DE：EF=3：2时，S△BDE：S△BEF=3：2，从而可得到关于x的方程，然后解方程求出x就看得到对应的D点坐标；
（3）先确定抛物线的对称轴，如图，设M（2，t），利用两点间的距离公式得到BC2=50，MC2=t2-10t+29，MB2=t2+9，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当BC2+MC2=MB2时，△BCM为直角三角形，则50+t2-10t+29=t2+9；当BC2+MB2=MC2时，△BCM为直角三角形，则50+t2+9=t2-10t+29；当MC2+MM2=BC2时，△BCM为直角三角形，则t2-10t+29+t2+9=50，然后分别解关于t的方程，从而可得到满足条件的M点坐标．

选B:

（1）把C（0，5）代入y=a（x+1）（x-5）得-5a=5，解得a=-1，
所以抛物线解析式为y=-（x+1）（x-5），即y=-x2+4x+5；
（2）能．
当y=0时，-（x+1）（x-5）=0，解得x1=-1，x2=5，则A（-1，0），B（5，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把C（0，5），B（5，0）代入得 ，解得 ，

所以直线BC的解析式为y=-x+5，
设D（x，-x2+4x+5），则E（x，-x+5），F（x，0），（0＜x＜5），
∴DE=-x2+4x+5-（-x+5）=-x2+5x，EF=-x+5，
当DE：EF=2：3时，S△BDE：S△BEF=2：3，即（-x2+5x）：（-x+5）=2：3，
整理得3x2-17x+10=0，解得x1= ，x2=5（舍去），此时D点坐标为（，）；
当DE：EF=3：2时，S△BDE：S△BEF=3：2，即（-x2+5x）：（-x+5）=3：2，
整理得2x2-13x+15=0，解得x1=，x2=5（舍去），此时D点坐标为（，）；
综上所述，当点D的坐标为（，）或（，）时，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分；
（3）抛物线的对称轴为直线x=2，如图，
设M（2，t），
∵B（5，0），C（0，5），
∴BC2=52+52=50，MC2=22+（t-5）2=t2-10t+29，MB2=（2-5）2+t2=t2+9，
当BC2+MC2=MB2时，△BCM为直角三角形，∠BCM=90°，即50+t2-10t+29=t2+9，解得t=7，此时M点的坐标为（2，7）；
当BC2+MB2=MC2时，△BCM为直角三角形，∠CBM=90°，即50+t2+9=t2-10t+29，解得t=-3，此时M点的坐标为（2，-3）；
当MC2+MM2=BC2时，△BCM为直角三角形，∠CMB=90°，即t2-10t+29+t2+9=50，解得t1=6，t2=-1，此时M点的坐标为（2，6）或（2，-1），
综上所述，满足条件的M点的坐标为（2，7），（2，-3），（2，6），（2，-1）．