【题目】如图,直线 : 与x轴、y轴分别交于A、R两点,直线与x轴、y轴分别交于C、两点,且︰︰.
(1)如图,为直线上一点,横坐标为,为直线上一动点,当最小时,将线段沿射线方向平移,平移后、的对应点分别为、,当最小时,求点的坐标;
(2)如图,将沿着轴翻折,得到,再将绕着点顺时针旋转()得到,直线与直线、轴分别交于点、.当为等腰三角形时,请直接写出线段的长.
【答案】(1);(2) 的长为:或 或或.
【解析】
(1)如图,作QM⊥x轴于M,首先说明当P、Q、M三点共线,且PM⊥x轴时,最小,构建一次函数理由方程组确定交点Q的坐标即可;
(2)根据题意,可以分四种情形分别求解,即可解决问题;
解:(1)∵直线l1:,
∴A(-9,0),B(0,12),
∴在Rt△AOB中,AB=15,
∵AB:BC=3:4,
∴BC=20,
∴在Rt△BOC中,OC=16,
即C(16,0),
设直线l2:y=kx+b(k≠0),
∴,解得,
∴直线l2:,
作QM⊥x轴于M,
,
则△CQM∽△CBO.
∴,
∴,即,
∴,
∴当P、Q、M三点共线,且PM⊥x轴时,PQ+CQ最小,
∴Q(12,3),
平移过程中,点Q'在直线l3上移动,
∵l3∥l1且l3经过点Q(12,3),
∴l3:y=x13,
作点B(0,12)关于l3的对称点B',则B'24,-6),连接OB',与直线l3的交点即为所求点Q',
∵直线OB':y=x,
∴,解得,
∴点Q’的坐标为:.
(2)①如图2中,当AN=AM时,作AG⊥MN于G,易知AG=,
∵∠MAN=∠NMA,
∴sin∠AMN=sin∠BAO=,
∴,
∴AM=,
∴BM=AB-AM=;
②如图2中,当AN=AM时,作AG⊥MN于G,延长AG交OB于K,作KT⊥AB于T.
∵AM=AN,AG⊥MN,
∴∠GAM=∠GAN,
∴KO=KT,设KO=KT=m,
∵△AKO≌△AKT,
∴OA=AT=16,BT=AB-AT=4,
在Rt△BKT中,(12-m)2=m2+42,
∴m=,
在Rt△AKO中,AK=,
∵cos∠GAM=,
∴,
∴,
∴;
③如图4中,当AM=MN时,
∵tan∠MNA=tan∠MAN=,
∴GN=,设AM=MN=n,
在Rt△AGN中,可得n2=(-n)2+()2,
解得n=,
∴BM=AB=AM=;
④如图5中,当AM=AN时,
由②可知,sin∠GAM=,
∴,
∴BM=;
综合上述,的长为:或 或或.
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【题目】如图,已知△ABC是等边三角形,以AB为直径作⊙O,交BC边于点D,交AC边于点F,作DE⊥AC于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若△ABC的边长为4,求EF的长度.
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【题目】(思考)
如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根,那么有x1+x2=﹣,x1x2=,这是一元二次方程根与系数的关系,我们可以利用它来解决问题
(应用)
(1)若x1,x2是方程x2+x﹣1=0的两根,则x1+x2= x1x2= ,求的值.
(2)关于x的一元二次方程kx2+(k﹣3)x+=0有两个不相等的实数根为x1,x2,且满足x1x2﹣2(x1+x2)+4=2k﹣,请考虑k的取值范围前提下,求出k的值
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【题目】如图在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,过D作DE⊥BD交AB于点E,经过B,D,E三点作⊙O.
(1)求证:AC与⊙O相切于D点;
(2)若AD=15,AE=9,求⊙O的半径.
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【题目】垃圾分类有利于对垃圾进行分流处理,能有效提高垃圾的资源价值和经济价值,力争物尽其用,为了了解同学们对垃圾分类相关知识的掌握情况,增强同学们的环保意识,某校对八年级甲,乙两班各60名学生进行了垃极分类相关知识的测试,并分别抽取了15份成绩,整理分析过程如下,请补充完整.
(收集数据)
甲班15名学生测试成绩统计如下:(满分100分)
68,72,89,85,82,85,74,92,80,85,78,85,69,76,80
乙班15名学生测试成绩统计如下:《满分100分)
86,89,83,76,73,78,67,80,80,79,80,84,82,80,83
(整理数据)
(1)按如下分数段整理、描述这两组样本数据
组别 频数 | 65.5~70.5 | 70.5~75.5 | 75.5~80.5 | 80.5~85.5 | 85.5~90.5 | 90.5~95.5 |
甲 | 2 | 2 | 4 | 5 | 1 | 1 |
乙 | 1 | 1 | a | b | 2 | 0 |
在表中,a= ,b= .
(2)补全甲班15名学生测试成绩频数分布直方图:
(分析数据)
(3)两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表所示:
班级 | 平均数 | 众数 | 中位数 | 方差 |
甲 | 80 | x | 80 | 47.6 |
乙 | 80 | 80 | y | 26.2 |
在表中:x= ,y= .
(4)若规定得分在80分及以上(含80分)为合格,请估计乙班60名学生中垃极分类及投放相关知识合格的学生有 人.
(5)你认为哪个班的学生掌握垃圾分类相关知识的整体水平较好,说明理由.
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【题目】已知关于x的方程x2-2(k-1)x+k2 =0有两个实数根x1.x2.
(1)求实 数k的取值范围;
(2)若(x1+1)(x2+1)=2,试求k的值.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点(﹣1,0),对称轴l如图所示,则下列结论:①abc>0;②a﹣b+c=0;③2a+c<0;④a+b<0,其中所有正确的结论是( )
A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④
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【题目】(3分)如图,正方形ABCD的边长为3cm,动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动,到达A点停止运动;另一动点Q同时从B点出发,以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动,到达A点停止运动.设P点运动时间为x(s),△BPQ的面积为y(cm2),则y关于x的函数图象是( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,在△ABC中,点D在边AB上,点F、E在边AC上,且DF∥BE,.
(1)求证:DE∥BC;
(2)如果,S△ADF=2,求S△ABC的值.
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