Question

3．已知：如图1，点A在半圆O上运动（不与半圆的两个端点重合），以AC为对角线作矩形ABCD，使点D落在直径CE上，CE=5，将△ADC沿AC折叠，得到△AD′C．
（1）求证：AD′是半圆的切线；
（2）如图2，当AB与CD′的交点F恰好在半圆O上时，连接OA．
①求证：四边形AOCF是菱形；
②求四边形AOCF的面积；
（3）如图3，CD′与半圆O交于点G，若AC=2$\sqrt{5}$，AD=2，求AD′+D′G值．

Answer 1

分析 （1）连接OA，由折叠的性质得出∠1=∠2，由矩形的性质和等腰三角形的性质得出∠1+∠2+∠3=90°，即∠OAD′=90°，即可得出结论；
（2）①由折叠的性质得出∠1=∠2，∠D′=∠ADC=90°，由矩形的性质和等腰三角形的性质得出∠3=∠4，由ASA证明△AFC≌△AOC，得出对应边相等AF=OA，得出AF=CF=OA=OC，即可得出结论；
②由弦切角定理得出∠D′AF=∠1，证出∠3=∠4=30°，得出OD=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{5}{4}$，得出AD=$\sqrt{3}$OD，菱形AOCF的面积=OC•AD，即可得出结果；
（3）由折叠的性质得出AD′=AD=2，CD′=CD，由勾股定理求出CD，得出CD′，再由切割线定理求出D′G，即可得出结果．

解答 （1）证明：连接OA，如图1所示：
由折叠的性质得：∠1=∠2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠1+∠DCA=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠DCA，
即∠1+∠3=∠DCA，
∴∠1+∠1+∠3=90°，
∴∠1+∠2+∠3=90°，
即∠OAD′=90°，
∴AD′⊥OA，
∴AD′是半圆的切线；
（2）①证明：如图2所示：
由折叠的性质得：∠1=∠2，∠D′=∠ADC=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AF=CF，
∵OA=OC，
∴∠2=∠4，
∴∠3=∠4，
在△AFC和△AOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AC=AC}\\{∠3=∠4}\end{array}\right.$，
∴△AFC≌△AOC（ASA），
∴AF=OA，
∴AF=CF=OA=OC，
∴四边形AOCF是菱形；
②解：∵AD是半圆O的切线，
∴∠D′AF=∠1，
∴∠D′AF=∠3=∠4，
∵四边形AOCF是菱形，
∴OA∥CF，
∴∠OAD′+∠D′=180°，
∴∠OAD′=90°，
∴∠3=∠4=30°，
∵OA=OC=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{5}{2}$，
∴OD=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{5}{4}$，
∴AD=$\sqrt{3}$OD=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，
∴菱形AOCF的面积=OC•AD=$\frac{5}{2}$×$\frac{5\sqrt{3}}{4}$=$\frac{25\sqrt{3}}{8}$；
（3）解：由折叠的性质得：AD′=AD=2，CD′=CD，
∵∠ADC=90°，
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}$=4，
∴CD′=4，
由切割线定理得：AD′²=D′G•CD′，
即2²=D′G×4，
∴D′G=1，
∴AD′+D′G=2+1=3．

点评 本题是圆的综合题目，考查了切线的判定方法、折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、弦切角定理、切割线定理等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（2）中，需要证明三角形全等和运用弦切角定理才能得出结果．