Question

如图1，已知点O为菱形ABCD的对角线的交点，∠A=60°，将等边△OEF的顶点放在O处，直线OE、OF分别交直线AB、BC于M、N．

（1）求证：ON=OM．
（2）写出线段BM，BN与AB之间的数量关系并证明；
（3）将图1中的△OEF绕点O顺时针旋转至图2的位置，请直接写出线段BM，BN与AB之间的数量关系．

Answer 1

考点：菱形的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）取BC的中点G，连接OG，证明△OBM≌△OGN，根据全等三角形的对应边相等即可证得；
（2）同（1）的方法取BC中点G，同理可证：△OBM≌△OGN即可得到；
（3）同（1）的方法取BC中点G，延长AB交OE于点H，先证明BH=BM，再同理可证：△OBM≌△OGN即可得到．

解答：（1）证明：取BC的中点G，连接OG，
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°
∴∠A=∠C=∠ABD=60°，AB=BC=CD=DA，
∵点O为菱形ABCD的对称中心，
∴OD=OB
∴OG∥CD    
∴∠BGO=∠C=60°，OG=OB
∵△OEF是等边三角形，
∴∠EOF=60°，
∴∠BOM=∠NOG
又∵∠BGO=∠ABD=60°
在△OBM和△OGN中，

∠BOM=∠NOG OB=OG ∠BGO=∠ABD

，
∴△OBM≌△OGN（ASA），
∴OM=ON；
（2）BN+BM=

1

2

AB，证明如下：
取BC中点G，
同理可证：△OBM≌△OGN，
∴BM=GN，
∴BG=BN+NG，
∴BN+BM=BG=

1

2

AB；
（3）BN-BM=

1

2

AB，证明如下：
取BC中点G，同理可证得△OBM≌△OGN，
∴BM=GN，
∴BG=BN-NG，
∴BN-BM=BG=

1

2

AB．

点评：本题考查了全等三角形的全等的判定与性质，证明线段相等的问题常用的方法是转化为证三角形全等，正确作出辅助线是关键．