Question

8．如图，已知?ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AC平分∠DAB，E为AB的中点，点F是AC上一动点，求EF+BF的最小值．

Answer 1

分析 根据菱形的对角线互相垂直平分，点B关于AC的对称点是点D，连接ED，EF+BF最小值=ED，然后解直角三角形即可求解．

解答 解：在?ABCD中，∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠CAB，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相垂直平分，
∴点B、D关于AC对称，
连接ED，则ED就是所求的EF+BF的最小值的线段，
∵E为AB的中点，∠DAB=60°，
∴DE⊥AB，
∴ED=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴EF+BF的最小值为3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到三角形中位线定理和解直角三角形，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．