Question

19．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E；
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE．
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，△ADC与△CEB还会全等吗？请直接回答会（填会或不会）；请直接猜想此时线段DE，AD，BE之间的数量关系是DE=AD-BE．

Answer 1

分析 （1）直角三角形中斜边对应相等，即可证明全等，再由线段对应相等，得出②中结论；
（2）由图可知，△ADC与△CEB仍全等，但线段的关系已发生改变．

解答 （1）证明：①∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE．
又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，
在△ADC与△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠BCE}\\{∠ADC=∠BEC=90°}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB．
②∵△ADC≌△CEB，
∴CD=BE，AD=CE．
∴DE=CE+CD=AD+BE．
（2）△ADC≌△CEB成立，DE=AD+BE．不成立，此时应有DE=AD-BE．
证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE．
又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，
在△ADC与△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠BCE}\\{∠ADC=∠BEC=90°}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△CEB．
∴CD=BE，AD=CE．
∴DE=AD-BE．
故答案为：会；DE=AD-BE．

点评 本题考查了三角形全等的判定及性质；熟练掌握全等三角形的性质和判定，此题作为选择或填空很容易漏掉后一问，注意运用．