Question

【题目】如图，等腰直角的顶点在正方形的对角线上，所在的直线交于点，交于点，连接，. 下列结论中，正确的有_________ （填序号）.

①；②是的一个三等分点；③；④；⑤.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

根据△CBE≌△CDF即可判断①；由△CBE≌△CDF得出∠EBC=∠FDC=45°进而得出△DEF为直角三角形结合即可判断②；判断△BEN是否相似于△BCE即可判断③；根据△BNE∽△DME即可判断④；作EH⊥BC于点H得出△EHC∽△FDE结合tan∠HEC=tan∠DFE=2，设出线段比即可判断⑤.

∵△CEF为等腰直角三角形

∴CE=CF，∠ECF=90°

又ABCD为正方形

∴∠BCD=90°，BC=DC

又∠BCD=∠BCE+∠ECD

∠ECF=∠ECD+∠DCF

∴∠DCF=∠BCE

∴△CBE≌△CDF(SAS)

∴BE=DF，故①正确；

∴∠EBC=∠FDC=45°

故∠EDF=∠EDC+∠FDC=90°

又

∴E是BD的一个三等分点，故②正确；

∵

∴

即判定△BEN∽△BCE

∵△ECF为等腰直角三角形，BD为正方形对角线

∴∠CFE=45°=∠EDC

∴∠CFE+∠MCF=∠EDC+∠DEM

∴∠MCF=∠DEM

然而题目并没有告诉M是EF的中点

∴∠ECM≠∠MCF

∴∠ECM≠∠DEM≠∠BNE

∴不能判定△BEN∽△BCE

∴不能得出进而不能得出，故③错误；

由题意可知△BNE∽△DME

又BE=2DE

∴BN=2DM，故④正确；

作EH⊥BC于点H

∵∠MCF=∠DEM

又∠HCE=∠DCF

∴∠HCE=∠DEM

又∠EHC=∠FDE=90°

∴△EHC∽△FDE

∴tan∠HEC=tan∠DFE=2

可设EH=x，则CH=2x

EC=

∴sin∠BCE=，故⑤错误；

故答案为①②④.