【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.
(1)求出点A,C,D的坐标;
(2)如图(1),在抛物线对称轴上找一点E,使得△CBE的周长最小,求点E的坐标;
(3)如图(2),作垂直x轴的直线,在第二象限交直线AC于点M,交抛物线于点N,求当MN有最大值时N点坐标?并求出MN最大值是多少?
【答案】(1)点A、C的坐标为(﹣3,0)、(0,3),顶点D(﹣1,4);(2)点E(﹣1,2);(3)MN有最大值,此时x=﹣
,故点N(﹣
,
).
【解析】
(1)y=-x2-2x+3,令x=0,则y=3,令y=0,则x=-3或1,即可求解;
(2)作点C关于函数对称轴的对称点F,连接FB,交抛物线的对称轴于点E,点E为所求点,此时△CBE的周长=BC+EC+EB=BC+BE+EF=FB+BC,即可求解;
(3)先求出直线AC的解析式,设点N(x,-x2-2x+3),则点M(x,x+3),则MN=-x2-2x+3-x-3=-x2-3x,即可求解.
(1)y=﹣x2﹣2x+3,令x=0,则y=3,令y=0,则x=﹣3或1,
故点A、B、C的坐标为(﹣3,0)、(1,0)、(0,3),
函数的对称轴为:x=﹣1,故顶点D(﹣1,4);
(2)作点C关于函数对称轴的对称点F,连接FB,交抛物线的对称轴于点E,点E为所求点,此时△CBE的周长=BC+EC+EB=BC+BE+EF=FB+BC,
∵BC是常数,F、E、B共线,故此时△CBE的周长=FB+BC最小,
∵(0,3),对称轴为:x=﹣1,
∴点F(﹣2,3),
设BF的解析式为:y=kx+b,
将点B、F的坐标代入一次函数表达式得:
,解得:
,
故直线BF的函数表达式为:y=﹣x+1,
当x=﹣1时,y=2,故点E(﹣1,2);
(3)将点A、C的坐标代入一次函数表达式,
设直线AC的解析式为:y=mx+n,
把A、C的坐标代入得
,解之得
,
∴直线AC的函数表达式为:y=x+3,
设点N(x,﹣x2﹣2x+3),则点M(x,x+3),
则MN=﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3=﹣x2﹣3x,
∵﹣1<0,故MN有最大值,此时x=﹣
,
故点N(﹣,
)
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【题目】如图,A、B、C、D为矩形的四个顶点,AB=16cm,AD=6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3cm/s的速度向点B移动,一直到达B为止,点Q以2cm/s的速度向D移动.
(1)P、Q两点从出发开始到几秒时,四边形APQD为长方形?
(2)P、Q两点从出发开始到几秒时?四边形PBCQ的面积为33cm2;
(3)P、Q两点从出发开始到几秒时?点P和点Q的距离是10cm.
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【题目】如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B,图2是点F运动时,△FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象,则a的值为( )
A. B. 2 C.
D. 2
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【题目】已知关于x的一元二次方程:x2﹣(m﹣3)x﹣m=0
(1)证明原方程有两个不相等的实数根;
(2)若抛物线y=x2﹣(m﹣3)x﹣m与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,则A,B两点间的距离是否存在最大或最小值?若存在,求出这个值;若不存在,请说明理由.(友情提示:AB=|x1﹣x2|)
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别为(1,0),(0,1),(﹣1,0).一个电动玩具从坐标原点O出发,第一次跳跃到点P1.使得点P1与点O关于点A成中心对称;第二次跳跃到点P2,使得点P2与点P1关于点B成中心对称;第三次跳跃到点P3,使得点P3与点P2关于点C成中心对称;第四次跳跃到点P4,使得点P4与点P3关于点A成中心对称;第五次跳跃到点P5,使得点P5与点P4关于点B成中心对称;…照此规律重复下去,则点P2013的坐标为 .
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O交BC与点D,过点D作⊙O的切线EF,交AC于点E,交AB的延长线于点F.
求证:(1)BD=CD;
(2)∠BAC=2∠EDC.
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【题目】为了帮助贫困家庭脱困,精准扶贫小组帮助一农户建立如图所示的长方形养鸡场,长方形的面积为45m2(分为两片),养鸡场的一边靠着一面长为14m的墙,另几条边用总长为22m的竹篱笆围成,每片养鸡场的前面各开一个宽1m的门.求这个养鸡场的长与宽.
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【题目】某农场拟建两间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙长>50m),中间用一道墙隔开(如图),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m,设两饲养室合计长x(m),总占地面积为y(m2)
(1)求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围;
(2)若要使两间饲养室占地总面积达到200m2,则各道墙的长度为多少?占地总面积有可能达到210m2吗?
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【题目】如图,在矩形ABCD中,已知 AD>AB.在边AD上取点E,连结CE.过点E作EF⊥CE,与边AB的延长线交于点F.
(1)证明:△AEF∽△DCE.
(2)若AB=3,AE =4,AD=10,求线段BF的长.
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