Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC与点D，过点D作⊙O的切线EF，交AC于点E，交AB的延长线于点F．

求证：（1）BD＝CD；

（2）∠BAC＝2∠EDC．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析.

【解析】

(1) 连接AD，由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°，则AD⊥BC，因为AB=AC，所以BD=CD;

(2) 连接OD.由AB是⊙O的切线，得到∠ODE=90°，则AD⊥BC，根据三角形内角和定理得到OD=OA ， 由（1）得BD=CD且AB=AC，得到∠BAC=2∠OAD，则∠BAC=2∠EDC.

解：(1) 连接AD.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BC，

又 ∵AB=AC，

∴BD=CD;

(2)连接OD.

∵AB是⊙O的切线，

∴OD⊥EF，

∴∠ODE=90°，

∴AD⊥BC，

∵∠EDC+∠ODE+∠ODB=180°，∴∠EDC+∠ODB=90°.

∵∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°，∴∠EDC=∠ADO .

∵OD=OA ，

∴∠OAD=∠ADO，∴∠EDC=∠OAD .

由（1）得BD=CD且AB=AC，∴∠BAC=2∠OAD，∴∠BAC=2∠EDC.