【题目】如图,AB是⊙O的直径,AC平分∠DAB交⊙O于点C,过点C的直线垂直于AD交AB的延长线于点P,弦CE交AB于点F,连接BE.
(1)求证:PD是⊙O的切线;
(2)若PC=PF,试证明CE平分∠ACB.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.
【解析】
(1)连接OC,如图,先证明∠2=∠3得到OC∥AD,然后利用平行线的性质得到OC⊥CD,从而根据切线的判定定理得到PD是⊙O的切线;
(2)先证明∠1=∠PCB,再根据等腰三角形的性质得∠PCF=∠PFC,然后利用∠PCF=∠PCB+∠BCF,∠PFC=∠1+∠ACF,从而可判断∠BCF=∠ACF.
证明:(1)连接OC,如图,
∵AC平分∠DAB,
∴∠1=∠2,
∵OA=OC,
∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
∴OC∥AD,
∵AD⊥CD,
∴OC⊥CD,
∴PD是⊙O的切线;
(2)∵OC⊥PC,
∴∠PCB+∠BCO=90°,
∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,即∠3+∠BCO,
∴∠3=∠PCB,
而∠1=∠3,
∴∠1=∠PCB,
∵PC=PF,
∴∠PCF=∠PFC,
而∠PCF=∠PCB+∠BCF,∠PFC=∠1+∠ACF,
∴∠BCF=∠ACF,
即CE平分∠ACB.
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【题目】如图,正方形ABCD中,E为CD的中点,AE的垂直平分线分别交AD,BC及AB的延长线于点F,G,H,连接HE,HC,OD,连接CO并延长交AD于点M.则下列结论中:
①FG=2AO;②OD∥HE;③;④2OE2=AHDE;⑤GO+BH=HC
正确结论的个数有( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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【题目】在正方形ABCD中,AC是对角线,今有较大的直角三角板,一边始终经过点B,直角顶点P在射线AC上移动,另一边交DC于点Q.
(1)如图①,当点Q在DC边上时,猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系,并加以证明;
(2)如图②,当点Q落在DC的延长线上时,猜想并写出PB与PQ满足的数量关系,并证明你的猜想.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,AC2=ABAD,∠ADC=90°,点E为AB的中点.
(1)求证:△ADC∽△ACB.
(2)若AD=2,AB=3,求的值.
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【题目】如图,在矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,0).抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、C,与AB交于点D.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S.
①求S关于m的函数表达式;
②当S最大时,在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴l上,若存在点F,使△DFQ为直角三角形,请直接写出所有符合条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,矩形的面积为28,对角线交于点;以、为邻边作平行四边形,对角线交于点;以、为邻边作平行四边形;…依此类推,则平行四边形的面积为( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,D是△ABC外接圆上的动点,且B,D位于AC的两侧,DE⊥AB,垂足为E,DE的延长线交此圆于点F.BG⊥AD,垂足为G,BG交DE于点H,DC,FB的延长线交于点P,且PC=PB.
(1)求证:BG∥CD;
(2)设△ABC外接圆的圆心为O,若AB=DH,∠OHD=80°,求∠BDE的大小.
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【题目】如图,矩形ABCD的两边长AB=18cm,AD=4cm,点P、Q分别从A、B同时出发,P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动,Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动.设运动时间为x秒,△PBQ的面积为y(cm2).
(1)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(2)求△PBQ的面积的最大值.
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