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【题目】已知:如图,直线ab,直线c与直线ab分别相交于CD两点,直线d与直线ab分别相交于AB两点,点P在直线AB上运动(不与AB两点重合)

(1)如图1,当点P在线段AB上运动时,总有:∠CPD=∠PCA+PDB,请说明理由;

(2)如图2,当点P在线段AB的延长线上运动时,∠CPD、∠PCA、∠PDB之间有怎样的数量关系,并说明理由;

(3)如图3,当点P在线段BA的延长线上运动时,∠CPD、∠PCA、∠PDB之间又有怎样的数量关系(只需直接给出结论)

【答案】(1)证明见解析;(2)CPD=PCA﹣PDB.理由见解析;(3)CPD=PDB﹣PCA.

【解析】

(1)过点Pa的平行线,根据平行线的性质进行求解;

(2)过点Pb的平行线PE,由平行线的性质可得出abPE,由此即可得出结论;

(3)设直线ACDP交于点F,由三角形外角的性质可得出∠1+3=PFA,再由平行线的性质即可得出结论.

(1)证明:如图1,过点PPEa,则∠1=CPE.

ab,PEa,

PEb,

∴∠2=DPE,

∴∠3=1+2,

即∠CPD=PCA+PDB;

(2)CPD=PCA-PDB.

理由:如图2,过点PPEb,则∠2=EPD,

∵直线ab,

aPE,

∴∠1=EPC,

∵∠3=EPC-EPD,

∴∠3=1-2,

即∠CPD=PCA-PDB;

(3)CPD=PDB-PCA.

证明:如图3,设直线ACDP交于点F,

∵∠PFAPCF的外角,

∴∠PFA=1+3,

ab,

∴∠2=PFA,

∴∠2=1+3,

∴∠3=2-1,

即∠CPD=PDB-PCA.

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