Question

15．关于x的一元二次方程3x²-6x+m=0．
（1）当x=2时，求一元二次方程3x²-6x+m=0的解；
（2）当m为何值时，一元二次方程3x²-6x+m=0有两个相等的实数根？
（3）根据（2）中的m，求（$\frac{{m}^{2}}{m+1}+4$）$÷\frac{{m}^{2}-4}{m+1}$的值．

Answer 1

分析 （1）将m=2代入原方程，公式法求得方程的解；
（2）根据方程有两个相等实数根可得△=0，列出关于m的方程，解方程可得；
（3）将分式化简，再将m的值代入计算即可．

解答 解：（1）当m=2时，一元二次方程为：3x²-6x+2=0，
解得：x=$\frac{6±\sqrt{（-6）^{2}-4×3×2}}{2×3}$=$\frac{3±\sqrt{3}}{3}$，
故方程的解为：x₁=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$；
（2）∵一元二次方程3x²-6x+m=0有两个相等的实数根，
∴判别式△=（-6）²-4×3×m=0，
解得：m=3，
故m=3时，一元二次方程3x²-6x+m=0有两个相等的实数根；
（3）（$\frac{{m}^{2}}{m+1}+4$）$÷\frac{{m}^{2}-4}{m+1}$=（$\frac{{m}^{2}}{m+1}+\frac{4m+4}{m+1}$）÷$\frac{（m+2）（m-2）}{m+1}$
=$\frac{（m+2）^{2}}{m+1}$×$\frac{m+1}{（m+2）（m-2）}$
=$\frac{m+2}{m-2}$，
当m=3时，原分式=$\frac{3+2}{3-2}$=5．

点评 本题主要考查解一元二次方程、根的判别式、分式化简求值，根据方程的根的判别式得出相应方程是解题关键．