Question

8．已知以下三个二次方程有公共根ax²+bx+c=0，bx²+cx+a=0，cx²+ax+b=0，
①求这三个方程的根；
②求式子$\frac{{a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3}}{abc}$的值．

Answer 1

分析 ①把x=t代入3个方程得出a•t²+bt+c=0，bt²+ct+a=0，ct²+a•t+b=0，3个方程相加即可得出（a+b+c）（t²+t+1）=0，即可求出答案．
②a+b+c=0，即a+b=-c，接着把a³+b³用立方和公式分解，然后用-c代换a+b，原分式约分后把a²+b²配方，再用-c代换a+b，最后进行约分即可得到原分式的值．

解答 解：①设这三个方程的一个公共根为t．
把x=t代入ax²+bx+c=0，bx²+cx+a=0，cx²+ax+b=0得：
a•t²+bt+c=0，bt²+ct+a=0，ct²+a•t+b=0，
相加得：（a+b+c）t²+（b+c+a）t+（a+b+c）=0，
（a+b+c）（t²+t+1）=0，
∵t²+t+1≠0，
∴a+b+c=0．
则t=1．故这三个方程的公共根为x=1．

②由a+b+c=0，得
a+b=-c，
原式=$\frac{（a+b）（{a}^{2}-ab+{b}^{2}）+{c}^{3}}{abc}$
=$\frac{-c（{a}^{2}-ab+{b}^{2}）+{c}^{3}}{abc}$
=$\frac{{c}^{2}-（{a}^{2}-ab+{b}^{2}）}{ab}$
=$\frac{{c}^{2}-[（a+b）{\\;}^{2}-3ab]}{ab}$
=$\frac{{c}^{2}-{c}^{2}+3ab}{ab}$
=3．

点评 本题考查了一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫一元二次的解．也考查了分式的化简求值．