Question

【题目】如图，△ABC与△DCE有公共顶点C，AB=CD，BC=CE，∠ABC=∠DCE=90°.

（1）如图1，当点D在BC延长线上时.

①求证：△ABC≌△DCE.

②判断AC与DE的位置关系，并说明理由.

（2）如图2，△CDE从（1）中位置开始绕点C顺时针旋转，当点D落在BC边上时停止.

①若∠A=60°，记旋转的度数为，当为何值时，DE与△ABC一边平行.

②如图3，若AB=c， BC=a， AC=b， a>c，边BC，DE交于点F，求整个运动过程中，F在BC上的运动路程（用含a， b， c的代数式表示）

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②AC⊥DE，理由见解析；（2）①60°或90°或150°

②

【解析】

（1）①由边角边可证全等；

②延长AC与DE交于M，由△ABC≌△DCE得∠ACB=∠E，利用等角的余角相等可证结论.

（2）①根据题意，作出符合条件的三种情况，易得旋转角度.

②根据题意，作出F的最终位置，即可得出运动路径.

（1）①证明：在△ABC和△DCE中，

∴△ABC≌△DCE（SAS）

AC⊥DE，理由如下：

如图所示，延长AC与DE交于M，

∵△ABC≌△DCE

∴∠ACB=∠E，

又∵∠ACB=∠DCM，∠E+∠D=90°

∴∠DCM+∠D=90°，

∴∠CMD=90°

即AC⊥DE.

（2）由题意可得，∠D=∠A=60°，∠E=∠ACB=30°，

（i）当DE∥BC时，如下图所示，

∵DE∥BC，

∴∠BCE=∠E=30°，

所以旋转角度=90°-30°=60°

（ii）当DE∥AC时，如下图所示，此时BC和CE重合，

由图可知，=∠BCD=90°

（iii）当DE∥AB时，如下图所示，

∵DE∥AB，AB⊥BC

∴DE⊥BC，

∴∠BCE=90°-30°=60°

∴=90°+∠BCE=150°

综上，为60°或90°或150°.

②由题意可得，F点从B点开始运动到图1中点所示位置，然后再继续运动，返回到图2中F点重合，

B点的运动路程为:

图1 图2