Question

1．如图，平面内的直线有相交和平行两种位置关系．
（1）如图（a），已知AB∥CD，求证：∠BPD=∠B+∠D．
（2）如图（b），已知AB∥CD，求证：∠BOD=∠P+∠D．
（3）根据图（c），试判断∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点P作PE∥AB，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”得出∠B=∠BPE、∠D=∠DPE，结合角之间的关系即可得出结论；
（2）过点P作PE∥CD，根据平行线的性质即可得出∠BOD=∠BPE、∠D=∠DPE，结合角之间的关系即可得出结论；
（3）数量关系：∠BPD=∠B+∠BQD+∠D．过点P作PE∥CD，过点B作BF∥PE，由平行线的性质得出“∠FBA+∠BQD=180°，∠FBP+∠BPE=180°，∠D=∠DPE”，再根据角之间的关系即可得出结论．

解答 （1）证明：过点P作PE∥AB，如图1所示．

∵AB∥PE，AB∥CD，（已知）
∴AB∥PE∥CD．（在同一平面内，平行于同一直线的两条直线互相平行）
∴∠B=∠BPE，∠D=∠DPE，（两直线平行，内错角相等）
∴∠BPD=∠BPE+∠DPE=∠B+∠D．（等量代换）
（2）证明：过点P作PE∥CD，如图2所示．

∵PE∥CD，（辅助线）
∴∠BOD=∠BPE，（两直线平行，同位角相等）；∠D=∠DPE，（两直线平行，内错角相等）
∴∠BPE=∠BPD+∠DPE=∠BPD+∠D，（等量代换）
即∠BOD=∠P+∠D．（等量代换）
（3）解：数量关系：∠BPD=∠B+∠BQD+∠D．
理由如下：
过点P作PE∥CD，过点B作BF∥PE，如图3所示．

则BF∥PE∥CD，
∴∠FBA+∠BQD=180°，∠FBP+∠BPE=180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∠D=∠DPE，（两直线平行，内错角相等）
∵∠FBA=∠FBP+∠B，
∴∠BPE=∠BQD+∠B，
∴∠BPD=∠BPE+∠DPE=∠BQD+∠B+∠D．（等量代换）

点评 本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据平行线的性质找出相等或互补的角．本题属于中档题，（1）难度不大；（2）（3）在实际做题中完全可以利用三角形外角的性质来解决问题，平行线的性质是很简单，但是很多时候用反而不如不用好．