Question

【题目】如图1，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作圆O

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）已知AO交圆O于点E，延长AO交圆O于点D，tan∠D=，求的值；

（3）如图2，在（2）条件下，若AB与⊙O的切点为点F，连接CF交AD于点G，设⊙O的半径为3，求CF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）由于题目没有说明直线AB与⊙O有交点，所以过点O作OF⊥AB于点F，然后证明OC=OF即可；
（2）连接CE，先求证∠ACE=∠ODC，然后可知△ACE∽△ADC，则，而tan∠D＝，即可求解；
（3）连接CF交AD于点M，由（2）可知，AC2=AEAD，先求出AE，AC的长，则AO可求出，证△CMO∽△ACO，可得OC2=OMOA，求出OM，CM，则CF=2CM可求解．

（1）证明：如图，过点O作OF⊥AB于点F

，

∵AO平分∠CAB，

OC⊥AC，OF⊥AB，

∴OC=OF，

∴AB是⊙O的切线；

（2）解：如图，连接CE，

∵ED是⊙O的直径，

∴∠ECD=90°，

∴∠ECO+∠OCD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACE+∠ECO=90°，

∴∠ACE=∠OCD，

∵OC=OD，

∴∠OCD=∠ODC，

∴∠ACE=∠ODC，

∵∠CAE=∠CAE，

∴△ACE∽△ADC，

∴，

∵tan，

∴；

（3）由（2）可知：，

∴设AE=x，AC=2x，

∵△ACE∽△ADC，

∴，

∴AC2=AEAD，

∴（2x）2=x（x+6），

解得：x=2或x=0（不合题意，舍去），

∴AE=2，AC=4，

∴AO=AE+OE=2+3=5，

如图，连接CF交AD于点M

，

∵AC，AF是⊙O的切线，

∴AC=AF，∠CAO=∠OAF，

∴CF⊥AO，

∴∠ACO=∠CMO=90°，

∵∠COM=∠AOC，

∴△CMO∽△ACO，

∴，

∴OC2=OMOA，

∴OM=，

∴CM==，

∴．