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【题目】如图,抛物线C1yx22x与抛物线C2yax2+bx开口大小相同、方向相反,它们相交于OC两点,且分别与x轴的正半轴交于点B,点AOA2OB

1)求抛物线C2的解析式;

2)在抛物线C2的对称轴上是否存在点P,使PA+PC的值最小?若存在,求出点P的坐标,若不存在,说明理由;

3M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点,连接MOMCM运动到什么位置时,MOC面积最大?并求出最大面积.

【答案】1y=﹣x2+4x;(2)线段OC的长度;(3SMOC最大值为

【解析】

(1)C1、C2:y=ax2+bx开口大小相同、方向相反,则a=-1,将点A的坐标代入C2的表达式,即可求解;
(2)点A关于C2对称轴的对称点是点O(0,0),连接OC交函数C2的对称轴与点P,此时PA+PC的值最小,即可求解;
(3)S△MOC=MH×xC=(-x2+4x-x)= -x2+x,即可求解.

(1)令:y=x2﹣2x=0,则x=0或2,即点B(2,0),

∵C1、C2:y=ax2+bx开口大小相同、方向相反,则a=﹣1,

则点A(4,0),将点A的坐标代入C2的表达式得:

0=﹣16+4b,解得:b=4,

故抛物线C2的解析式为:y=﹣x2+4x;

(2)联立C1、C2表达式并解得:x=0或3,

故点C(3,3),

连接OC交函数C2的对称轴与点P,

此时PA+PC的值最小为:线OC的长度;

设OC所在直线方程为:

将点O(0,0),C(3,3)带入方程,解得k=1,

所以OC所在直线方程为:

点P在函数C2的对称轴上,令x=2,带入直线方程得y=2,

P坐标为(22

(3)由(2)知OC所在直线的表达式为:y=x,

过点M作y轴的平行线交OC于点H,

设点M(x,﹣x2+4x),则点H(x,x),则MH=﹣x2+4x﹣x

则S△MOC=S△MOH+S△MCH

=MH×xC = (﹣x2+4x﹣x)=

∵△MOC的面积是一个关于x的二次函数,且开口向下

其顶点就是它的最大值。其对称轴为x==,此时y=

S△MOC最大值为

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第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

广宇

9

8

7

7

9

承义

6

8

10

8

8

对他们的训练成绩作如下分析,其中说法正确的是(

A.广宇训练成绩的平均数大于承义训练成绩平均数

B.广宇训练成绩的中位数与承义训练成绩中位数不同

C.广宇训练成绩的众数与承义训练成绩众数相同

D.广宇训练成绩比承义训练成绩更加稳定

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1)本次一共调查了多少名学生?

2)在图1中将选项B的部分补充完整;

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A.B.C.4D.6

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