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【题目】如图1,等边ABC的边长为3,分别以顶点BAC为圆心,BA长为半径作,我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形,显然莱洛三角形仍然是轴对称图形,设点l为对称轴的交点.

(1)如图2,将这个图形的顶点A与线段MN作无滑动的滚动,当它滚动一周后点A与端点N重合,则线段MN的长为

(2)如图3,将这个图形的顶点A与等边DEF的顶点D重合,且ABDEDE=2π,将它沿等边DEF的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时,求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积;

(3)如图4,将这个图形的顶点BO的圆心O重合,O的半径为3,将它沿O的圆周作无滑动的滚动,当它第n次回到起始位置时,点I所经过的路径长为 (请用含n的式子表示)

【答案】(1)3π;(2)27π;(3)2nπ.

【解析】试题分析:(1)先求出的弧长,继而得出莱洛三角形的周长为3π,即可得出结论;

2)先判断出莱洛三角形等边△DEF绕一周扫过的面积如图所示,利用矩形的面积和扇形的面积之和即可;

3)先判断出莱洛三角形的一个顶点和O重合旋转一周点I的路径,再用圆的周长公式即可得出.

试题解析:解:(1)∵等边△ABC的边长为3,∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,,∴===π,∴线段MN的长为=3π.故答案为:3π;

2)如图1.∵等边△DEF的边长为2π,等边△ABC的边长为3,∴S矩形AGHF=2π×3=6π,由题意知,ABDEAGAF,∴∠BAG=120°,∴S扇形BAG==3π,∴图形在运动过程中所扫过的区域的面积为3S矩形AGHF+S扇形BAG)=36π+3π)=27π;

3)如图2,连接BI并延长交ACD.∵I是△ABC的重心也是内心,∴∠DAI=30°,AD=AC=,∴OI=AI==,∴当它第1次回到起始位置时,点I所经过的路径是以O为圆心,OI为半径的圆周,∴当它第n次回到起始位置时,点I所经过的路径长为n2π=2nπ.故答案为:2nπ.

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