【题目】如图1,等边△ABC的边长为3,分别以顶点B、A、C为圆心,BA长为半径作、、,我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形,显然莱洛三角形仍然是轴对称图形,设点l为对称轴的交点.
(1)如图2,将这个图形的顶点A与线段MN作无滑动的滚动,当它滚动一周后点A与端点N重合,则线段MN的长为 ;
(2)如图3,将这个图形的顶点A与等边△DEF的顶点D重合,且AB⊥DE,DE=2π,将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时,求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积;
(3)如图4,将这个图形的顶点B与⊙O的圆心O重合,⊙O的半径为3,将它沿⊙O的圆周作无滑动的滚动,当它第n次回到起始位置时,点I所经过的路径长为 (请用含n的式子表示)
【答案】(1)3π;(2)27π;(3)2nπ.
【解析】试题分析:(1)先求出的弧长,继而得出莱洛三角形的周长为3π,即可得出结论;
(2)先判断出莱洛三角形等边△DEF绕一周扫过的面积如图所示,利用矩形的面积和扇形的面积之和即可;
(3)先判断出莱洛三角形的一个顶点和O重合旋转一周点I的路径,再用圆的周长公式即可得出.
试题解析:解:(1)∵等边△ABC的边长为3,∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,,∴===π,∴线段MN的长为=3π.故答案为:3π;
(2)如图1.∵等边△DEF的边长为2π,等边△ABC的边长为3,∴S矩形AGHF=2π×3=6π,由题意知,AB⊥DE,AG⊥AF,∴∠BAG=120°,∴S扇形BAG==3π,∴图形在运动过程中所扫过的区域的面积为3(S矩形AGHF+S扇形BAG)=3(6π+3π)=27π;
(3)如图2,连接BI并延长交AC于D.∵I是△ABC的重心也是内心,∴∠DAI=30°,AD=AC=,∴OI=AI==,∴当它第1次回到起始位置时,点I所经过的路径是以O为圆心,OI为半径的圆周,∴当它第n次回到起始位置时,点I所经过的路径长为n2π=2nπ.故答案为:2nπ.
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【题目】一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的A处,它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处,若轮船继续沿正东方向航行,求轮船航行途中与灯塔P的最短距离.(结果保留根号)
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【题目】 为满足社区居民健身的需要,市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区,经考察,劲松公司有两种型号的健身器可供选择.
(1)劲松公司2015年每套型健身器的售价为万元,经过连续两年降价,2017年每套售价为 万元,求每套型健身器年平均下降率 ;
(2)2017年市政府经过招标,决定年内采购并安装劲松公司两种型号的健身器材共套,采购专项费总计不超过万元,采购合同规定:每套型健身器售价为万元,每套型健身器售价我 万元.
①型健身器最多可购买多少套?
②安装完成后,若每套型和型健身器一年的养护费分别是购买价的 和 .市政府计划支出 万元进行养护.问该计划支出能否满足一年的养护需要?
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【题目】如图,AC是⊙O的直径,弦BD⊥AO于E,连接BC,过点O作OF⊥BC于F,若BD=8cm,AE=2cm,
(1)求⊙O的半径;
(2)求O到弦BC的距离.
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【题目】若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2,则称此抛物线为定弦抛物线.已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移1个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线的解析式为( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,正方形网格中,每个小正方形的边长都是1个单位长度,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,且点B的坐标为(4,2).
(1)画出△OAB向下平移3个单位长度后的△O1A1B1;
(2)画出△OAB绕点O逆时针旋转90°后的△OA2B2;
(3)在(2)的条件下,求点B旋转到点B2所经过的路径长(结果保留根号和π).
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线(k为常数).
(1)若抛物线经过点(1,k2),求k的值;
(2)若抛物线经过点(2k,y1)和点(2,y2),且y1>y2,求k的取值范围;
(3)若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线,当1≤x≤2时,新抛物线对应的函数有最小值,求k的值.
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