Question

【题目】如图，是矩形内的任意一点，连接、、、, 得到 , , , ,设它们的面积分别是，，，， 给出如下结论:①②③若，则④若，则点在矩形的对角线上．其中正确的结论的序号是（ ）

A.①②B.②③C.③④D.②④

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据三角形面积公式、矩形性质及相似多边形的性质得出：

①矩形对角线平分矩形，S△ABD=S△BCD,只有P点在BD上时，S +S =S +S4；

②根据底边相等的两个三角形的面积公式求和可知，S+S=矩形ABCD面积，同理S+S4=矩形ABCD面积，所以S+S= S+S4；

③根据底边相等高不相等的三角形面积比等于高的比来说明即可；

④根据相似四边形判定和性质，对应角相等、对应边成比例的四边形相似，矩形AEPF∽矩形ABCD推出,点P在对角线上．

解：①当点P在矩形的对角线BD上时，S +S =S +S4.但P是矩形ABCD内的任意一点，所以该等式不一定成立。故①不一定正确;

②∵矩形

∴AB=CD,AD=BC

∵△APD以AD为底边,△PBC以BC为底边，这两三角形的底相等，高的和为AB,

∴S +S =S矩形ABCD;

同理可得S +S4=S矩形ABCD ,

∴②S+S4=S+S正确;

③若S =2S ,只能得出△APD与△PBC高度之比是，S、S4分别是以AB、CD为底的三角形的面积，底相等，高的比不一定等于，S4=2S2不一定正确 ;故此选项错误;

④过点P分别作PF⊥AD于点F,PE⊥AB于点E,F.

若S1=S2,.则AD·PF=AB·PE

∴△APD与△PAB的高的比为：

∵∠DAE=∠PEA=∠PFA =90°

∴四边形AEPF是矩形,

∴矩形AEPF∽矩形ABCD

∴

∴P点在矩形的对角线上，选项④正确．

故选：D