Question

3．如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（-2，0）、B（0，d）、C（-3，2）．
（1）求d的值；
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移a个单位，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线B′C′交y轴于点G．作C′M⊥x轴于M．P是线段B′C′上的一点，若△PMC′和△PBB′面积相等，求点P坐标．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定与性质，可得答案；
（2）根据图象向左平移加，可得B′、C′，根据待定系数法，可得k、a值，可得反比例函数解析式，再根据待定系数法，可得直线B′C′的解析式；
（3）根据点在函数图象上，可得P点坐标，根据三角形的面积公式，可得关于a的方程，根据解方程，可得a值，可得答案．

解答 解：（1）如图1：

作CN⊥x轴于点N，
由线段的和差，得
AN=ON-AO=3-2=1．
在Rt△CNA和Rt△AOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAN=∠ABO}\\{∠CNA=∠AOB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴Rt△CNA≌Rt△AOB（AAS），
则AN=BO=1，
∴d=1；
（2）设反比例函数为y=$\frac{k}{x}$，点C'和B'在该比例函数图象上，
设C'（a-3，2），则B'（a，1）
把点C'和B'的坐标分别代入y=$\frac{k}{x}$，
得k=2a-6；k=a，
∴k=2k-6，则k=6，a=6，
反比例函数解析式为y=$\frac{6}{x}$．
得点C'（3，2）；B'（6，1）．
设直线C'B'的解析式为y=ax+b，把C'、B'两点坐标代入
得$\left\{\begin{array}{l}{3a+b=2}\\{6a+b=1}\end{array}\right.$
∴解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=3}\end{array}\right.$；
∴直线C'B'的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+3．
（3）如图2：
，
P在线段B′C′上，设P（a，-$\frac{1}{3}$a+3），作PD⊥C′M与D，作PE′BB′于E点，
C′M=2，BB′=6．PD=a-3，PE=-$\frac{1}{3}$a+3-1=-$\frac{1}{3}$a+2，
由△PMC′和△PBB′面积相等，得
$\frac{1}{2}$C′M•PD=$\frac{1}{2}$BB′•PE，即$\frac{1}{2}$×2（a-3）=$\frac{1}{2}$×6（-$\frac{1}{3}$a+2）．
解得a=$\frac{9}{2}$，-$\frac{1}{3}$a+2=$\frac{1}{2}$，
p（$\frac{9}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了反比例函数综合题，（1）利用了全等三角形的判定与性质；（2）利用了图象平移的规律，待定系数法得出关于k的方程是解题关键；（3）利用三角形的面积公式得出关于a的方程是解题关键．