【题目】已知:Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°.
(1)探究应用1:如图1,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,点D在线段CB上,以AD为边作等边△ADE,连接BE,为探究线段BE与DE之间的数量关系,组长已经添加了辅助线:取AB的中点F,连接EF.线段BE与DE之间的数量关系是_________,并说明理由;
(2)探究应用2:如图2,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,点D在线段CB的延长线上,以AD为边作等边△ADE,连接BE.线段BE与DE之间的数量关系是__________,并说明理由。
【答案】(1)BE=DE,理由见解析;(2)BE=DE,理由见解析
【解析】
(1)先根据F为AB中点和30°角的直角三角形的性质得出AC=AF,再利用等边三角形的性质和SAS证明△ACD≌△AFE,可得∠C=∠AFE=90°,再利用线段垂直平分线的性质即可证得结论;
(2)如图3,取AB的中点F,连接EF,仿(1)的思路证明即可.
(1)BE=DE.
理由:如图1,∵F是AB的中点,∴AF=AB.
∵∠C=90°,∠ABC=30°,
∴AC=AB,∠CAB=60°.
∴AC=AF.
∵△ADE是等边三角形,
∴AD=AE=DE,∠EAD=60°,
∴∠CAB=∠DAE,
∴∠CAB∠3=∠DAE∠3,
∴∠1=∠2.
在△ACD和△AFE中,
,
∴△ACD≌△AFE(SAS),
∴∠C=∠AFE=90°,即EF⊥AB.
∵F是AB的中点,
∴EF是AB的垂直平分线,
∴AE=BE,
∴BE=DE.
故答案为:BE=DE;
(2)BE=DE.
理由:如图3,取AB的中点F,连接EF,
∴AF=AB.
∵∠C=90°,∠ABC=30°,
∴AC=AB,∠CAB=60°.
∴AC=AF.
∵△ADE是等边三角形,
∴AD=AE=DE,∠EAD=60°,
∴∠CAB=∠DAE,
∴∠CAD=∠BAE.
在△ACD和△AFE中,
,
∴△ACD≌△AFE(SAS),
∴∠C=∠AFE=90°,
∴EF⊥AB.
∵F是AB的中点,
∴EF是AB的垂直平分线,
∴AE=BE,
∴BE=DE.
故答案为:BE=DE.
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【题目】如图,将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形FGCE,点M、N分别是BD、GE的中点,若BC=14,CE=2,则MN的长( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
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【题目】如图,点P为x轴正半轴上的一个点,过点P作x轴的垂线,交函数的图象于点A,交函数
的图象于点B,过点B作x轴的平行线,交
于点C,边接AC.
(1)当点P的坐标为(1,0)时,求△ABC的面积;
(2)当点P的坐标为(1,0)时,在y轴上是否存在一点Q,使A、O、Q三点为顶点的三角形△QAO为等腰三角形?若存在,请直接写出Q点的坐标;若不存在,说明理由.
(3)请你连接OA和OC.当点P的坐标为(t,0)时,△OAC的面积是否随t的值的变化而变化?请说明理由.
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【题目】如图,已知在△ABC中,点D、E分别是AB、AC上一点,且AD=AE,∠ABE=∠ACD,BE与CD相交于点F.试判断△BCF的形状,并说明理由.
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【题目】随着科技进步,无人机的应用越来越广,如图1,在某一时刻,无人机上的探测器显示,从无人机A处看一栋楼顶部B点的仰角和看与顶部B在同一铅垂线上高楼的底部C的俯角.
(1)如果上述仰角与俯角分别为30°与60°,且该楼的高度为30米,求该时刻无人机的竖直高度CD;
(2)如图2,如果上述仰角与俯角分别为α与β,且该楼的高度为m米.求用α、β、m表示该时刻无人机的竖直高度CD.
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【题目】抛物线经过点A(
,0),B(
,0),且与y轴相交于点C.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)求∠ACB的度数;
(3)设点D是所求抛物线第一象限上一点,且在对称轴的右侧,点E在线段AC上,且DE⊥AC,当△DCE与△AOC相似时,求点D的坐标.
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【题目】已知关于x的一元二次方程mx2+(1﹣5m)x﹣5=0(m≠0).
(1)求证:无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根;
(2)若抛物线y=mx2+(1﹣5m)x﹣5与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,且|x1﹣x2|=6,求m的值;
(3)若m>0,点P(a,b)与Q(a+n,b)在(2)中的抛物线上(点P、Q不重合),求代数式4a2﹣n2+8n的值.
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【题目】某校组织一项公益知识竞赛,比赛规定:每个班级由2名男生、2名女生及1名班主任老师组成代表队.但参赛时,每班只能有3名队员上场参赛,班主任老师必须参加,另外2名队员分别在2名男生和2名女生中各随机抽出1名.初三(1)班由甲、乙2名男生和丙、丁2名女生及1名班主任组成了代表队,求恰好抽到由男生甲、女生丙和这位班主任一起上场参赛的概率.(请用“画树状图”或“列表”或“列举”等方法给出分析过程)
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