Question

【题目】已知:Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°.

(1)探究应用1:如图1,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°，点D在线段CB上，以AD为边作等边△ADE，连接BE，为探究线段BE与DE之间的数量关系，组长已经添加了辅助线：取AB的中点F，连接EF.线段BE与DE之间的数量关系是_________,并说明理由；

(2)探究应用2:如图2,Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°，点D在线段CB的延长线上，以AD为边作等边△ADE，连接BE.线段BE与DE之间的数量关系是__________，并说明理由。

Answer 1

【答案】（1）BE=DE，理由见解析；（2）BE=DE，理由见解析

【解析】

（1）先根据F为AB中点和30°角的直角三角形的性质得出AC=AF，再利用等边三角形的性质和SAS证明△ACD≌△AFE，可得∠C=∠AFE=90°，再利用线段垂直平分线的性质即可证得结论；

（2）如图3，取AB的中点F，连接EF，仿（1）的思路证明即可.

(1)BE=DE.

理由：如图1，∵F是AB的中点，∴AF=AB.

∵∠C=90°，∠ABC=30°，

∴AC=AB，∠CAB=60°.

∴AC=AF.

∵△ADE是等边三角形，

∴AD=AE=DE，∠EAD=60°，

∴∠CAB=∠DAE，

∴∠CAB∠3=∠DAE∠3，

∴∠1=∠2.

在△ACD和△AFE中，

，

∴△ACD≌△AFE(SAS)，

∴∠C=∠AFE=90°，即EF⊥AB.

∵F是AB的中点，

∴EF是AB的垂直平分线，

∴AE=BE，

∴BE=DE.

故答案为：BE=DE；

(2)BE=DE.

理由：如图3，取AB的中点F，连接EF，

∴AF=AB.

∵∠C=90°，∠ABC=30°，

∴AC=AB，∠CAB=60°.

∴AC=AF.

∵△ADE是等边三角形，

∴AD=AE=DE，∠EAD=60°，

∴∠CAB=∠DAE，

∴∠CAD=∠BAE.

在△ACD和△AFE中，

，

∴△ACD≌△AFE(SAS)，

∴∠C=∠AFE=90°，

∴EF⊥AB.

∵F是AB的中点，

∴EF是AB的垂直平分线，

∴AE=BE，

∴BE=DE.

故答案为：BE=DE.