Question

【题目】我们把满足某种条件的所有点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝12，动点P从点A开始沿射线AC方向以1个单位秒的速度向点C运动，动点Q从点C开始沿射线CB方向以2个单位/秒的速度向点运动，P、Q两点分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，在整个运动过程中，线段PQ的中点M运动的轨迹长为__．

Answer 1

【答案】3．

【解析】

先以C为原点，以AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，由题意知0≤t≤6，求得t＝0及t＝6时M的坐标，得到直线M1M2的解析式为y＝﹣2x+8．过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N＝6，M1N＝3，M1M2＝3，线段PQ中点M所经过的路径长为3个单位长度．

以C为原点，以AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系：

依题意，可知0≤t≤6，当t＝0时，点M1的坐标为（4，0）；

当t＝6时，点M2的坐标为（1，6），

设直线M1M2的解析式为y＝kx+b，

∴，

解得：，

∴直线M1M2的解析式为y＝﹣2x+8．

设动点运动的时间为t秒，

则有点Q（0，2t），P（8﹣t，0），

∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标为（，t），

把x＝代入y＝﹣2x+8，得y＝﹣2×+8＝t，

∴点M3在M1M2直线上，

过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N＝6，M1N＝3，

∴M1M2＝3，

∴线段PQ中点M所经过的路径长为3个单位长度．

故答案为：3．