【题目】关于x的一元二次方程x2﹣3x+k=0有实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m﹣1)x2+x+m﹣3=0与方程x2﹣3x+k=0有一个相同的根,求此时m的值.
【答案】(1)k≤;(2)m的值为.
【解析】
(1)利用判别式的意义得到△=(-3)2-4k≥0,然后解不等式即可;‘
(2)利用(1)中的结论得到k的最大整数为2,解方程x2-3x+2=0解得x1=1,x2=2,把x=1和x=2分别代入一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0求出对应的m,同时满足m-1≠0.
(1)根据题意得△=(﹣3)2﹣4k≥0,
解得k≤;
(2)k的最大整数为2,
方程x2﹣3x+k=0变形为x2﹣3x+2=0,解得x1=1,x2=2,
∵一元二次方程(m﹣1)x2+x+m﹣3=0与方程x2﹣3x+k=0有一个相同的根,
∴当x=1时,m﹣1+1+m﹣3=0,解得m=;
当x=2时,4(m﹣1)+2+m﹣3=0,解得m=1,
而m﹣1≠0,
∴m的值为.
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【题目】综合与实践:
问题情境:(1)如图1,点E是正方形ABCD边CD上的一点,连接BD、BE,将∠DBE绕点B顺针旋转90°,旋转后角的两边分别与射线DA交于点F和点G.
①线段BE和BF的数量关系是 ;
②写出线段DE、DF和BD之间的数量关系,并说明理由;
操作探究:(2)在菱形ABCD中,∠ADC=60°,点E是菱形ABCD边CD所在直线上的一点,连接BD、BE,将∠DBE绕点B顺时针旋转120°,旋转后角的两边分别与射线DA交于点F和点G.
①如图2,点E在线段DC上时,请探究线段DE、DF和BD之间的数量关系,写出结论并给出证明.
②如图3,点E在线段CD的延长线上时,BE交射线DA于点M,若DE=DC=2a,直接写出线段FM和AG的长度.
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【题目】如图,已知锐角内接于⊙O, 于点D,连结AO.
⑴若.
①求证:;
②当时,求面积的最大值;
⑵点E在线段OA上,,连接DE,设,(m、n是正数),若,求证:
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【题目】已知:如图,在四边形ABCD中,AD∥BC.点E为CD边上一点,AE与BE分别为∠DAB和∠CBA的平分线.
(1)请你添加一个适当的条件 ,使得四边形ABCD是平行四边形,并证明你的结论;
(2)作线段AB的垂直平分线交AB于点O,并以AB为直径作⊙O(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(3)在(2)的条件下,⊙O交边AD于点F,连接BF,交AE于点G,若AE=4,sin∠AGF=,求⊙O的半径.
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【题目】已知:如图,在矩形ABCD中,M,N分别是边AD,BC的中点,E,F分别是线段BM,CM的中点.
(1)求证:△ABM≌△DCM;
(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形,并证明你的结论;
(3)当四边形MENF是正方形时,求AD:AB的值.
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【题目】某学生会倡导的“爱心捐款”活动结束后,学生会干部对捐款情况作了抽样调查,并绘制了统计图,图中从左到右各长方形高度之比为3:4:5:8:2,又知此次调查中捐15元和20元的人数共39人.
(1)他们一共抽查了多少人?
(2)这组数据的众数、中位数分别是多少?
(3)若该校共有2310名学生,请估算有多少人捐款数不少于20元?
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【题目】我们把满足某种条件的所有点组成的图形,叫做符合这个条件的点的轨迹,如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=12,动点P从点A开始沿射线AC方向以1个单位秒的速度向点C运动,动点Q从点C开始沿射线CB方向以2个单位/秒的速度向点运动,P、Q两点分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,在整个运动过程中,线段PQ的中点M运动的轨迹长为__.
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