【题目】已知:如图,在四边形ABCD中,AD∥BC.点E为CD边上一点,AE与BE分别为∠DAB和∠CBA的平分线.
(1)请你添加一个适当的条件 ,使得四边形ABCD是平行四边形,并证明你的结论;
(2)作线段AB的垂直平分线交AB于点O,并以AB为直径作⊙O(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(3)在(2)的条件下,⊙O交边AD于点F,连接BF,交AE于点G,若AE=4,sin∠AGF=,求⊙O的半径.
【答案】(1)当AD=BC时,四边形ABCD是平行四边形,理由见解析;(2)作出相应的图形见解析;(3)圆O的半径为2.5.
【解析】(1)添加条件AD=BC,利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可;
(2)作出相应的图形,如图所示;
(3)由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行,可得同旁内角互补,再由AE与BE为角平分线,可得出AE与BE垂直,利用直径所对的圆周角为直角,得到AF与FB垂直,可得出两锐角互余,根据角平分线性质及等量代换得到∠AGF=∠AEB,根据sin∠AGF的值,确定出sin∠AEB的值,求出AB的长,即可确定出圆的半径.
(1)当AD=BC时,四边形ABCD是平行四边形,理由为:
证明:∵AD∥BC,AD=BC,
∴四边形ABCD为平行四边形;
故答案为:AD=BC;
(2)作出相应的图形,如图所示;
(3)∵AD∥BC,
∴∠DAB+∠CBA=180°,
∵AE与BE分别为∠DAB与∠CBA的平分线,
∴∠EAB+∠EBA=90°,
∴∠AEB=90°,
∵AB为圆O的直径,点F在圆O上,
∴∠AFB=90°,
∴∠FAG+∠FGA=90°,
∵AE平分∠DAB,
∴∠FAG=∠EAB,
∴∠AGF=∠ABE,
∴sin∠ABE=sin∠AGF=,
∵AE=4,
∴AB=5,
则圆O的半径为2.5.
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【题目】(3分)如图,OA在x轴上,OB在y轴上,OA=8,AB=10,点C在边OA上,AC=2,⊙P的圆心P在线段BC上,且⊙P与边AB,AO都相切.若反比例函数()的图象经过圆心P,则k= .
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【题目】定义:若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形,则这种抛物线被称为:“直角抛物线”.如图,直线l:y=x+b经过点M(0,),一组抛物线的顶点B1(1,y1),B2(2,y2),B3(3,y3),…Bn(n,yn) (n为正整数),依次是直线l上的点,第一个抛物线与x轴正半轴的交点A1(x1,0)和A2(x2,0),第二个抛物线与x轴交点A2(x2,0)和A3(x3,0),以此类推,若x1=d(0<d<1),当d为_____时,这组抛物线中存在直角抛物线.
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【题目】如图,已知反比例函数y=(m≠0)的图象经过点(1,4),一次函数y=﹣x+b的图象经过反比例函数图象上的点Q(﹣4,n).
(1)求反比例函数与一次函数的表达式;
(2)一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点,与反比例函数图象的另一个交点为P点,连结OP、OQ,求△OPQ的面积.
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【题目】随着移动终端设备的升级换代,手机已经成为我们生活中不可缺少的一部分,为了解中学生在假期使用手机的情况(选项:A.和同学亲友聊天;B.学习;C.购物;D.玩游戏;E.其它),端午节后某中学在全校范围内随机抽取了若干名学生进行调査,得到如图表(部分信息未给出):
选项 | 频数 | 百分比 |
A | 10 | m |
B | n | 0.2 |
C | 5 | 0.1 |
D | p | 0.4 |
E | 5 | 0.1 |
根据以上信息解答下列问题:
(1)这次被调查的学生有多少人?
(2)求表中m,n,p的值,并补全条形统计图;
(3)若该中学约有2400名学生,估计全校学生中利用手机购物或玩游戏的共有多少人?并根据以上调査结果,就中学生如何合理使用手机给出你的一条建议.
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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+2经过点A(﹣1,﹣1)和点B(3,﹣1).
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式.
(2)写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和二次函数的最值.
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【题目】关于x的一元二次方程x2﹣3x+k=0有实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m﹣1)x2+x+m﹣3=0与方程x2﹣3x+k=0有一个相同的根,求此时m的值.
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【题目】如图,半圆D的直径AB=4,线段OA=7,O为原点,点B在数轴的正半轴上运动,点B在数轴上所表示的数为m.
(1)当半圆D与数轴相切时,m= .
(2)半圆D与数轴有两个公共点,设另一个公共点是C.
①直接写出m的取值范围是 .
②当BC=2时,求△AOB与半圆D的公共部分的面积.
(3)当△AOB的内心、外心与某一个顶点在同一条直线上时,求tan∠AOB的值.
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【题目】如图,已知△ABC中,AB=AC,把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE,连接BD,CE交于点F.
(1)求证:△AEC≌△ADB;(2)若AB=2,∠BAC=45°,当四边形ADFC是菱形时,求BF的长.
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