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【题目】已知:如图,在四边形ABCD中,ADBC.点ECD边上一点,AEBE分别为∠DAB和∠CBA的平分线.

(1)请你添加一个适当的条件   ,使得四边形ABCD是平行四边形,并证明你的结论;

(2)作线段AB的垂直平分线交AB于点O,并以AB为直径作⊙O(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);

(3)在(2)的条件下,⊙O交边AD于点F,连接BF,交AE于点G,若AE=4,sinAGF=,求⊙O的半径.

【答案】(1)当AD=BC时,四边形ABCD是平行四边形,理由见解析;(2)作出相应的图形见解析;(3)圆O的半径为2.5.

【解析】(1)添加条件AD=BC,利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可;

(2)作出相应的图形,如图所示;

(3)由平行四边形的对边平行得到ADBC平行,可得同旁内角互补,再由AEBE为角平分线,可得出AEBE垂直,利用直径所对的圆周角为直角,得到AFFB垂直,可得出两锐角互余,根据角平分线性质及等量代换得到∠AGF=AEB,根据sinAGF的值,确定出sinAEB的值,求出AB的长,即可确定出圆的半径.

(1)当AD=BC时,四边形ABCD是平行四边形,理由为:

证明:∵ADBC,AD=BC,

∴四边形ABCD为平行四边形;

故答案为:AD=BC;

(2)作出相应的图形,如图所示;

(3)ADBC,

∴∠DAB+CBA=180°,

AEBE分别为∠DAB与∠CBA的平分线,

∴∠EAB+EBA=90°,

∴∠AEB=90°,

AB为圆O的直径,点F在圆O上,

∴∠AFB=90°,

∴∠FAG+FGA=90°,

AE平分∠DAB,

∴∠FAG=EAB,

∴∠AGF=ABE,

sinABE=sinAGF=

AE=4,

AB=5,

则圆O的半径为2.5.

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选项

频数

百分比

A

10

m

B

n

0.2

C

5

0.1

D

p

0.4

E

5

0.1

根据以上信息解答下列问题:

(1)这次被调查的学生有多少人?

(2)求表中mnp的值,并补全条形统计图;

(3)若该中学约有2400名学生,估计全校学生中利用手机购物或玩游戏的共有多少人?并根据以上调査结果,就中学生如何合理使用手机给出你的一条建议.

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