Question

【题目】综合与实践：

问题情境：（1）如图1，点E是正方形ABCD边CD上的一点，连接BD、BE，将∠DBE绕点B顺针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线DA交于点F和点G．

①线段BE和BF的数量关系是　 　；

②写出线段DE、DF和BD之间的数量关系，并说明理由；

操作探究：（2）在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边CD所在直线上的一点，连接BD、BE，将∠DBE绕点B顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线DA交于点F和点G．

①如图2，点E在线段DC上时，请探究线段DE、DF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明．

②如图3，点E在线段CD的延长线上时，BE交射线DA于点M，若DE＝DC＝2a，直接写出线段FM和AG的长度．

Answer 1

【答案】（1）①BE＝BF，见解析；②DF+DE＝BD，理由见解析；（2）①DF+DE＝BD，理由见解析；②FM＝7a，AG＝4a．

【解析】

（1）①根据旋转的性质解答即可；
②根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）①根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；
②根据相似三角形的判定和性质解答即可．

（1）①∵∠DBE绕点B顺针旋转90°，如图（1）

由旋转可知，∠DBE＝∠GBF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BDC＝∠ADB＝45°，

∵∠DBG＝90°，

∴∠G＝45°，

∴∠G＝∠BDG，

∴GB＝BD，

∴△GBF≌△DBE（SAS），

∴BE＝BF；

故答案为：BE＝BF

②DF+DE＝BD，理由如下：

由旋转可知，∠DBE＝∠GBF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BDC＝∠ADB＝45°，

∵∠DBG＝90°，

∴∠G＝45°，

∴∠G＝∠BDG，

∴GB＝BD，

∴△GBF≌△DBE（SAS），

∴DE＝GF，

∴DF+DE＝DG，

∵DG＝BD，

即DE+DF＝BD；

（2）①DF+DE＝BD，

理由如下：在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB＝∠ADC＝，

由旋转120°得∠EBF＝∠DBG＝120°，∠EBD＝∠FBG，

在△DBG中，∠G＝180°﹣120°﹣30°＝30°，

∴∠BDG＝∠G＝30°，

∴BD＝BG，

∴△EBD≌△FBG（ASA），

∴DE＝FG，

∴DE+DF＝DF+FG＝DG，

过点B作BM⊥DG于点M，如图（2）

∵BD＝BG，

∴DG＝2DM，

在Rt△BMD中，∠BDM＝30°，

∴BD＝2BM．

设BM＝a，则BD＝2a，

，

∴DG＝2a，

，

∴DF+DE＝BD，

②过点B作BM⊥DG，BN⊥DC，如图（3）

∵DE＝DC＝2a，

由①中同理可得：FM＝7a，AG＝4a．