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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,直线y=kx+n(k0)经过B,C两点,已知A(1,0),C(0,3),且BC=5.

(1)分别求直线BC和抛物线的解析式(关系式);

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得以B,C,P三点为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)直线BC的解析式为y=x+3;抛物线解析式为y=x2x+3;(2)存在.P1),P22),P3),P4).

【解析】

试题分析:(1)由C的坐标确定出OC的长,在直角三角形BOC中,利用勾股定理求出OB的长,确定出点B坐标,把B与C坐标代入直线解析式求出k与n的值,确定出直线BC解析式,把A与B坐标代入抛物线解析式求出a的值,确定出抛物线解析式即可;(2)在抛物线的对称轴上存在点P,使得以B,C,P三点为顶点的三角形是直角三角形,如图所示,分三种情况考虑:当PCCB时,PBC为直角三角形;当PBBC时,BCP为直角三角形,当点P为直角顶点,即PCPB时,PBC为直角三角形;分别求出P的坐标即可.

试题解析:(1)由C的坐标确定出OC的长,C(0,3),即OC=3,BC=5,在RtBOC中,根据勾股定理得:OB==4,即B(4,0),把B与C坐标代入y=kx+n中,得:,解得:k=n=3,直线BC的解析式为y=x+3;由A(1,0),B(4,0),设抛物线解析式为y=a(x1)(x4)=ax25ax+4a,把C(0,3)代入得:a=,则抛物线解析式为y=x2x+3;(2)存在.如图所示,分种情况考虑:抛物线解析式为y=x2x+3,其对称轴x===当P1CCB时,P1BC为直角三角形,直线BC的斜率为,两条直线垂直时斜率的积为-1,直线P1C斜率C(0,3),直线P1C解析式为y=x+3,与抛物线对称轴方程联立得,解得:,此时P();当P2BBC时,BCP2为直角三角形,同理得到直线P2B的斜率为B(4,0),直线P2B方程为y=x与抛物线对称轴方程联立得:,解得:此时P22).P1)或P22)时BCP为直角三角形.当点P为直角顶点,即PCPB时,设P(,y),B(4,0),C(0,3),BC=5,BC2=PC2+PB2,即25=(2+(y3)2+(4)2+y2,解得y=P3),P4)时BCP为直角三角形..综上所述,在抛物线的对称轴上存在点P,使得以B,C,P三点为顶点的三角形是直角三角形,点P的坐标分别为P1),P22),P3),P4).

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25

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32

3

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