Question

（1）问题发现：
如图1，点A、B是直线l外的任意两点，在直线l上，试确定一点P，使PA，PB最短．
作法如下：作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B交l于点P，则PA+PB=A′B最短．（不必证明）
（2）解决问题：
如图2，等边△ABC的边长为4，E为AB的中点，AD⊥BC，P是AD上一点．
①在图中画出点P，使点B，E到点P的距离之和最短；（保留作图痕迹，不写作法）
②求这个最短距离．

（3）应用拓展：如图3，角形铁架∠MON=30°，A，D分别是OM，ON上的定点，且OA=7，OD=24，为实际设计的需要，需在OM和ON上分别找出点C，B，使AB+BC+CD的值最小．请在图中画出点B、C，则此时的最小值为

 

（保留作图痕迹，不写作法）

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,作图—应用与设计作图

专题：

分析：（2）根据等边三角形的轴对称性可知B和点C关于直线AD的长，由此连接CE，交AD于P，则P为所求，再根据勾股定理即可求出点B，E到点P的最短距离；
（3）首先根据两点之间，线段最短确定C，B二点的位置，则折线ABCD的最短长度转化为一条线段的长度．然后运用勾股定理求出其值．

解答：解：（2）如图2所示：点P为所求，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=4，
∵E为AB的中点，
∴AE=BE=2，
∴CE=

42-22

=2

3

，
∵AD⊥BC，
∴BP=CP，
∴BP+PE=CP+PE=CE=2

3

，
（3）如图3所示：
解：作D关于OM的对称点D′，作A作关于ON的对称点A′，连接A′D′与OM，ON的交点就是C，B二点．

此时AB+BC+CD=A′B+BC+CD′=A′D′为最短距离．
连接DD′，AA′，OA′，OD′．
∵OA=OA′，∠AOA′=60°，
∴∠OAA′=∠OA′A=60°，
∴△ODD′是等边三角形．
同理△OAA′也是等边三角形．
∴OD'=OD=24，OA′=OA=7，
∠D′OA′=90°．
∴A′D′=

242+72

=25．
故答案为：25．

点评：此题考查了线路最短的问题，确定动点为何位置是关键．综合运用了等边三角形的知识以及勾股定理，题目的综合性较强，难度中等．