【题目】在△AOB中,∠AOB=90°,AO=6厘米,BO=8厘米,分别以OB和OA所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图所示,动点M从点A开始沿AO方向以2厘米/秒的速度向点O移动,同时动点N从点O开始沿OB方向以4厘米/秒的速度向点B移动(其中一点到达终点时,另一点随即停止移动).
(1)求过点A和点B的直线表达式;
(2)当点M移动多长时间时,四边形AMNB的面积最小?并求出四边形AMNB面积的最小值;
(3)在点M和点N移动的过程中,是否存在以O,M,N为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,请求出点M 和点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:∵AO=6厘米,BO=8厘米,
∴A(0,6),B(8,0).
设AB的解析式为y=kx+b,由题意,得
,
解得: ,
∴直线AB的解析式为y=﹣ x+6;
(2)
解:设四边形AMNB的面积为S,M、N运动的时间为t,由题意,得
AM=2t,ON=4t,
∴OM=6﹣2t,
∴S△OMN= (6﹣2t)4t=﹣4t2+12t.
∴S= ﹣(﹣4t2+12t),
=24+4t2﹣12t,
=4(t﹣ )2+15.
∵a=4>0,
∴抛物线的开口向上,
∴当t= 时,S最小=15.
答:当点M移动 秒时,四边形AMNB的面积最小,最小值为15厘米2;
(3)
解:当△OMN∽△OAB时,
∴ ,
∴ ,
∴t= .
∴OM=6﹣2× =
,ON=4×
=
,
∴M(0, ),N(
,0);
当△ONM∽△OAB时,
∴ ,
∴ ,
∴t= .
∴OM=6﹣2× =
,ON=4×
=
,
∴M(0, ),N(
,0)
【解析】(1)根据条件可以求出点A和点B的坐标,然后运用待定系数法就可以求出解析式;(2)设四边形AMNB的面积为S,M、N运动的时间为t,表示出S与t的函数关系式,再由其解析式就可以求出结论;(3)分类讨论,当△OMN∽△OAB和△ONM∽△OAB时分别求出t的值就可以求出M、N的坐标.
【考点精析】利用确定一次函数的表达式和相似三角形的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式y=kx+b(k不等于0)中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法;对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,正方形ABCD的边长为4厘米,动点P从点A出发沿AB边由A向B以1厘米/秒的速度匀速移动(点P不与点A、B重合),动点Q从点B出发沿拆线BC-CD以2厘米/秒的速度匀速移动。点P、Q同时出发,当点P停止运动,点Q也随之停止。联结AQ交BD于点E。设点P运动时间为t秒。
(1)用t表示线段PB的长;
(2)当点Q在线段BC上运动时,t为何值时,∠BEP和∠BEQ相等;
(3)当t为何值时,线段P、Q之间的距离为2cm.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】 如图,将小旗ACDB放于平面直角坐标系中,得到各顶点的坐标为A(﹣6,12),B(﹣6,0),C(0,6),D(﹣6,6).以点B为旋转中心,在平面直角坐标系内将小旗顺时针旋转90°.
(1)画出旋转后的小旗A′C′D′B′;
(2)写出点A′,C′,D′的坐标;
(3)求出线段BA旋转到B′A′时所扫过的扇形的面积.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】甲口袋中装有两个相同的小球,它们的标号分别为2和5,乙口袋中装有两个相同的小球,它们的标号分别为4和9,丙口袋中装有三个相同的小球,它们的标号分别为1,6,7.从这3个口袋中各随机取出一个小球.
(1)用树形图表示所有可能出现的结果;
(2)若用取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长,求这些线段能构成三角形的概率.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O外一点,过点C作⊙O的切线,切点为B,连结AC交⊙O于D,∠C=38°.点E在AB右侧的半圆上运动(不与A、B重合),则∠AED的大小是( )
A.19°
B.38°
C.52°
D.76°
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线的顶点为(0,4)且与x轴交于(﹣2,0),(2,0).
(1)直接写出抛物线解析式;
(2)如图,将抛物线向右平移k个单位,设平移后抛物线的顶点为D,与x轴的交点为A、B,与原抛物线的交点为P.
①当直线OD与以AB为直径的圆相切于E时,求此时k的值;
②是否存在这样的k值,使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上?若存在,求出k值;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,点A(a,6)是第一象限内正比例函数y=3x的图象上的一点,AB⊥x轴,交直线OB于B点,三角形OAB的面积为5,求直线OB所对应的函数表达式.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com